§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь

Пусть ко входу линейной инвариантной устойчивой цепи в момент времени t=0 приложен входной сигнал S_вх(t), являющийся функцией-оригиналом. И пусть имеется единственное заданное воздействие S_вх(t), приложенное к какой-либо части системы, а определению подлежит единственный отклик системы S_вых(t) в той или другой ее части. Начальные условия нулевые. Выберем метод и составим систему уравнений в операторных величинах.

Используя метод контурных токов или метод узловых напряжений, составим уравнение или систему алгебраических уравнений в операторной форме:

(1.32)

.

Эта система уравнений является алгебраической, ее решение относительно искомого колебания строится на основе правила Кра­мера и приводится к виду:

(1.33)

где – Δ(р) – определитель системы уравнений; Δ_kl(р) – алгеб­раическое дополнение, в котором индекс k указывает ту часть цепи, где действует источник входного сигнала, индекс l – указывает ту часть цепи, где наблюдается выходной сигнал; А(р) – сомножитель, присут­ствующий в решении в тех случаях, когда размерность искомого колебания отлична от размерности функций, выбранных в качестве искомых при составлении уравнений; Т(р) – сомножитель, свя­зывающий изображения входного и выходного сигналов и называемый операторной передаточной функцией цепи. Если k=l (выходной сигнал рассматривается там же, где действует входной сигнал), то Т(р) является либо операторным входным сопротивлением цепи Z_вх(р), либо операторной входной проводимостью Y_вх(р).

Операторная передаточная функция линейной цепи Т(р) является ее важнейшей характеристикой. В ней содержится вся информация о составе цепи, а также о свойствах цепи передавать и преобразовывать сигналы. В связи с этим в тео­рии цепей исследованию T(р) уделяется много внимания, особен­но при решении задач синтеза цепей. Сечение функций Т(р) вдоль мнимой оси комплексной плоскости (р=jω) приводит к комп­лексной передаточной функции Т(р)|_p=jω=Т(ω), а обратное преобразование Лапласа для Т(р) определяет импульсную функцию цепи Z^-1[T(р)]=g(t) - отклик цепи на воздействие вида S_вх(t)=δ(t).

Обратное преобразование Лапласа для S_вых(р) можно осу­ществить различными способами и получить при этом разные пред­ставления искомого выходного колебания.

Применение к выражению S_вых(p)=Т(р)S_вх(p) свойства (1.9) приводит к решению задачи в форме интеграла наложения:

(1.34)

Вычислять Т(р) при этом не нужно.

Заметим, что T(p) является дробно-рациональной функцией, T(p)=M(p)/V(p), где V(p) - характеристический многочлен цепи, а S_вх(р) для большинства сигналов либо отношение мно­гочленов, либо отношение целой функции к многочлену S_вх(р)=N(p)/W(p). Поэтому - тоже либо отношение многочленов, либо отношение целой функции к многочле­ну и, следовательно, обратное преобразование Лапласа в случае простых полюсов изображения S_вых(p) имеет вид:

(t≥0), (1.35)

где p_k - нули многочленов W(р) и V (р). В этой сумме нули, относящиеся к характеристическому многочлену цепи V(p), определяют собственные колебания цепи, а корни многочлена W(p), связанного с изображением воздействия, опре­деляют вынужденные колебания. Собственные колебания цепи уже рас­сматривались, в связи с задачей анализа свободных колеба­ний, но в данном случае они возникают при возбуждении цепи вход­ным сигналом. Для устойчивых цепей собственные колебания носят затухающий характер. Вынужденные колебания в зависимости от ха­рактера воздействия S_вх(t) могут оказаться затухающими, нарастающими и стационарными. Поэтому корни W(p) могут распо­лагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях, а также на мнимой оси.

В случае простых полюсов S_вых(p) решение задачи анализа вынужденных колебаний в общем виде определяется формулой:

(t≥0) , (1.36)

где первая сумма обусловлена действительными нулями p_к=α_к > 0 или p_к=α_к < 0 полиномов V(p) и W(p), вторая - парами комплексно-сопряженных нулей р_l=α_ljω_l, а величины S_k, S_l и Ψ_l определяются выражениями:

(1.37)

Необходимо уметь решение конкретных задач приводить именно к такому виду и вычислять значения коэффициентов решения S_k, S_l и Ψ_l.

В теории цепей представляет интерес задача анализа процесса перехода цепи из одного установившегося режима в дру­гой. Такие процессы называют переходными. К установившимся отно­сят режимы: покоя, постоянного тока, гармонических колебаний и периодических колебаний. Из этого определения видно, что свобод­ные колебания - частный случай переходного процесса. В общем случае задача анализа переходных процессов сводится к опреде­лению отклика цепи на воздействие вида S_вх(t)=S₀σ (t) или S_вх(t)=S₀cos(ω t+Ψ )σ(t), или при ненулевых начальных условиях, которые следует определить, анализируя состояние цепи в исходном, установившемся режиме.