§3.11. 1.Метод фазовой плоскости. Метод изоклин

Поскольку последнее уравнение (3.110), так же как и предыдущее (3.107) не удается решить аналитически прибегают к построению фазовых траекторий методом изоклин. Для этого полагают, что , и, задавая различные значения одной из величинx или y, можно рассчитать и построить на фазовой плоскости график функции называемой изоклиной, т.к. она определяет линии, проходящие через интегральные кривые в точках с одинаковым углом наклона=tg α.

Рис. 3.56. Фазовый портрет автогенератора гармонических колебаний,

построенный методом изоклин

Изменяя значения соnst (от - ∞ до + ∞ ) можно построить поле изоклин, а после этого построить фазовый портрет. Например, для уравнения Ван-дер-Поля (3.97)

поле изоклин и фазовые портреты имеют вид рис.3.56.

§3.11.2. Метод фазовой плоскости. Особые точки

Заполнение фазовой плоскости полем направлений – трудоемкий процесс. Поэтому, часто для определения характера фазовых траекторий используют метод, основанный на построении особых точек и особых линий. Общее количество особых точек невелико, характер фазовых траекторий вблизи них хорошо изучен. Если еще удается построить предельные циклы и сепаратриссы, что является очень трудоемкой задачей, то вид фазовых траекторий на плоскости удается установить без построения изоклин. ″До сих пор не существует достаточно общих теоретических методов для решения вопроса о существовании предельных циклов и определения места их расположения, за исключением случая систем близких к линейным (ε « 1)″ (Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний»).

Для определения координат особых точек вспомним, что через эту точку проходит либо много фазовых траекторий, либо ни одной. Это значит, что в этой точке не определена фазовая скорость v_ф = , а это возможно, если одновременно равняются нулюи. Тогда для определения координат особых точек на фазовой плоскости необходимо решить систему уравнений

, (3.111)

для случая, когда колебания задаются одним уравнением второго порядка (3.107) и

, (3.112)

для случая, когда колебания задаются системой уравнений (3.110).

Если рассматривать малые области отклонения колебаний вокруг особых точек, то уравнения описывающие колебания можно линеаризовать и по полученному виду определить характер особой точки. После линеаризации дифференциальное уравнение (3.107) принимает вид

. (3.113)

Т.к. это уравнение линейное, то для его анализа можно применять любой из методов теории линейных цепей, например, операторный метод. Тогда характеристическое уравнение для уравнения (3.113) имеет вид

p² + a₁ p + a₂ = 0. (3.114)

Корни характеристического уравнения (3.114)

p_1,2 = –

могут принимать различные значения в зависимости от знаков и величин коэффициентов а₁ и а₂ .

1) Пусть коэффициента характеристического уравнения (3.113), есть:

а₁ = 0; а₂ › 0,

тогда p_1,2 = ± j ω, где ω = , а колебания переменных имеют вид

. (3.115)

Исключая из уравнений явно содержащееся время t, получим уравнение относительно переменных y(x)

, (3.116)

которое описывает в качестве фазовых траекторий, вложенные в друг друга эллипсы − замкнутые траектории, т.е периодические колебания (рис.3.57).

Рис.3.57. Фазовые траектории особой точки типа центр

2) Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:

а₁ › 0; а₂ › 0; а₂ › ()² .

Корни характеристического полинома для этого случая:

p_1,2 = .

В этом случае решение для переменных х и у представляет собой экспоненциально затухающие гармонические колебания:

, (3.117)

тогда для случая ω » δ,

. (3.118)

Вводя полярные координаты

и обозначения

,

получаем уравнение траекторий колебаний на фазовой плоскости в полярных координатах

ρ = ω А , (3.119)

т.е. накручивающуюся на особую точку спираль (рис.3.58).

Рис. 3.58. Фазовые траектории для особой точки – устойчивый фокус и

законы изменения y(t) и x(t)

3) Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:

а_{1 <} 0; а₂ > 0; а₂ > ()².

Корни характеристического полинома для этого случая равны

p_1,2 = .

В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально нарастающие гармонические колебания

,

тогда для случая ω » δ

.

Вводя полярные координаты

и обозначение

,

получаем уравнение траекторий колебаний на фазовой плоскости в полярных координатах

ρ=ωА, (3.120)

т.е. раскручивающуюся от особой точки спираль (рис.3.59).

Рис.3.59. Фазовые траектории для особой точки – неустойчивый фокус и

законы изменения y(t) и x(t)

4) Пусть коэффициента характеристического уравнения (3.113), есть:

а₁< 0; а₂ > 0; а₂ > ()² .

Корни характеристического полинома для этого случая равны

p₁ = - δ₁ и p₂ = - δ₂.

В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально убывающие апериодические колебания (рис.3.60).

. (3.121)

Рис.3.60. Фазовые траектории для особой точки – устойчивый узел и

законы изменения y(t) и x(t)

5). Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:

а₁ > 0; а₂ > 0; а₂ < ()².

Корни характеристического полинома для этого случая равны

p₁ = + δ₁ и p₂ = + δ₂.

В этом случае решение для переменных представляет собой экспоненциально нарастающие апериодические колебания (рис.3.61)

. (3.122)

Рис.3.61. Фазовые траектории для особой точки – неустойчивый узел и

законы изменения y(t) и x(t)

6). Пусть коэффициенты характеристического уравнения (3.113), есть:

а₂ < 0, тогда p₁ = + δ₁ и p₂ = - δ₂ а фазовые траектории имеют вид прелставленным на (рис.3.62).

Рис.3.62. Фазовые траектории для особой точки – седло

Прямые линии – называются сепаратриссами. Они разделяют фазовую плоскость на области притяжения к двум устойчивым особым точкам 1 и 2. На плоскости значений коэффициентов а₁ и а₂, принадлежность особых точек, какому- то типу может быть представлена в виде следующего графика рис.3.63

или таблицы 3:

Рис.3.63. Расположение особых точек на плоскости координат

коэффициентов а₁ и а₂

Таблица 3

а1 а2	а1 > 0		а1= 0	а1< 0
	а2 < ()2	а2 > ()2	----	а2 < ()2	а2 > ()2
а2>0	уст. узел	Уст. фокус	центр	не уст. узел	не уст. фокус
а2 < 0	седло