§2.11.3 Метод последовательных приближений

Пусть у нас имеется линейная параметрическая цепь рис.2.38. В такой цепи могут существовать как свободные, так и вынужденные колебания.

Рис.2.38. Линейная параметрическая цепь

Пусть колебания параметров происходят значительно медленнее по сравнению с характерными колебаниями напряжения или тока в линейной параметрической цепи. Это условие, также как и для метода «замороженного» параметра, является основным условием накладывающим ограничение для применимости метода последовательных приближений. Метод последовательных приближений позволяет получить ряд последовательных поправок к методу «замороженного» параметра.

Пусть у нас имеется система с сосредоточенными параметрами (радиотехническая цепь). Система интегродифференциальных уравнений описываюшяя колебания в такой цепи, содержит коэффициенты, зависящие от параметра – времени

. (2.109)

Считаем, что можно представить матрицу в виде постоянной величины и, медленно изменяющейся вокруг нее, переменной части:

. (2.110)

Тогда подставим равенство (2.110) в уравнение (2.109) и перепишем его в следующем виде:

. (2.111)

Будем искать решение в виде знакопеременной суммы матриц-столбцов неизвестных функций:

(2.112)

Подставим ряд (2.112) в уравнение (2.111) и запишем его в следующем виде:

. (2.113)

Обычно, ряд (2.112) ограничевают каким-то конечным числом слагаемых. Вид ряда (2.112) говорит о том, что мы ищем решение в виде последоватльного приближения к точному решению. Будем считать, что мы хотим построить решение с помощью метода последовательных приближений до n-го порядка точности. Тогда нам необходимо найти n неизвестных матриц-столбцов токов . Но уравнение (2.111) у нас одно, поэтому для получения однозначного решения для токаиз уравнения (2.111), выберем удобные для нас (n-1) условий, выполнение которых поможет получить (n-1) – дополнительных уравнений. Последнее уравнение получим используя выражение (2.113), в которое подставим наши условия. Для получения первого уравнения, потребуем, чтобы матрица-столбец неизвестных токов находилась как решение следующего уравнения:

. (2.114)

Второе уравнение получим, потребовав, чтобы матрица-столбец неизвестных токов находилась как решение уравнения:

(2.115)

и т.д. Мы получили ряд уравнений для нахождения (n-1) поправки для решения в виде выражения (2.112).

, (2.116)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Последнее же уравнение получим, подставив найденные уравнения в формулу (2.113), из которого следует, что для нахождения последней поправки, необходимо решить следуюшее уравнение:

. (2.116)

Теперь у нас n уравнений для n неизвестных. Находя из уравнения (2.114) неизвестную матрицу-столбец токов , подставляем ее в правую часть уравнения (2.115). Тогда в уравнении (2.115) справа будет стоять известная функция и мы можем найти первую поправку к решению . Применяя эту процедуру к последующим уравнениям, мы сможем последовательно найти и остальные приближения. Причем, если сравнить уравнение (2.114) с уравнением (2.96) из метода «замороженного» параметра, можно сделать вывод, что нулевое проближение метода последовательных приближений совпадает с решением метода «замороженного» параметра. Для решения уравнений (2.114-2.116) теперь можно применить операторный метод, т.к. коэффициенты матрицы являются постоянными величинами.

Применим преоразование Лапласа к уравнению (2.114) и получим систему алгебраических уравнений в операторном виде:

решение которой находится по правилу Крамера:

.

После нахождения решения для операторного тока , осуществим обратное преобразование Лапласа и найдем:

. (2.117)

Полученное выражение для столбцов контурных токов в нулевом приближении, подставим в уравнение (2.115) и получим известный столбец функций в правой части уравнения (2.115). С учетом полученной поправки найдем первое приближение столбца контурных токов , как решение уравнения (2.113).

Последовательно осуществляя действия для остальных приближений, получим

. (2.118)

С помощью метода последовательных приближений можно найти решение для любого порядка точности. После этого, осушествляя обратное преобразование Лапласа к полученным решениям (2.118) окончательно найдем найдем решение параметрического уравнения:

. (2.119)