§ 2.2. Аксиоматика теории цепей в параметрическом случае

Первичными понятиями, как и для линейных цепей, являются напряжение U и ток i. Элементы, источник напряжения и источник тока, законы Киргофа – являются универсальными. Отличие в элементах R, L и С.

U=Ri; i=GU; U(t)=R(t)i(t); i(t)=G(t)U(t) P=Ui=Ri²=GU²>0 P(t)=R(t)i²(t)=G(t)U²(t)>0 (2.5)

; ; (2.6)

; ; (2.7)

P_L=L 0; . (2.8)

Слагаемое в выражении (2.6) подобно падению напряжения на сопротивлении. Причем, если>0, то можно отбирать энергию с помощьюL(t) из цепи, а если <0, то это описывает случай внесения энергии в цепь с помощью параметрического элемента. Аналогично и для мощностиP_L, наличие

слагаемого свидетельствует о возможности вносить или отбирать энергию из цепи, в зависимости от знака.

; ; (2.9)

; ; (2.10)

P_С=C 0; . (2.11)

Слагаемое в выражении (2.9) подобно току, протекающему через проводимость. Причем если>0, то можно отбирать энергию с помощью переменной емкости С(t) из цепи, а если <0, то это описывает случай внесения энергии в цепь с помощью параметрического элемента. Аналогично и для мощностиP_C, наличие слагаемого свидетельствует о возможности вносить или отбирать энергию из цепи, в зависимости от знака.

При уменьшении емкости в цепь вносится энергия, при увеличении емкости энергия забирается из цепи.

Таким образом, реактивные параметрические элементы L(t) и C(t) выступают в роли преобразователей энергии, т.е. параметрическое возбуждение и усиление колебаний происходит в результате периодического изменения энергоемких параметров колебательной системы, определяющих ее частоту.

В рассмотренных ранее генераторах и усилителях (схемах в которых пренебрегали нелинейными свойствами элементов, т.е. считали, что цепи составлены из линейных элементов) возбуждение и усиление колебаний осуществлялось за счет энергии источников постоянного напряжения. С энергетической точки зрения такие усилители и генераторы являются преобразователями энергии постоянного напряжения (тока) в энергию переменного напряжения (тока).

В параметрических генераторах и усилителях механизм передачи энергии (или накачки) оказывается иным: энергия вводится в систему путем изменения с некоторый частотой реактивного параметра, на что какой-то источник затрачивает энергию. Поскольку параметр меняется с одной частотой, а возбужденные или усиленные колебания в большинстве случаев имеют другую частоту, рассматриваемые параметрические устройства оказываются преобразователями частоты.

Давайте вспомним, что уравнения, описывающие колебания в радиотехнических цепях, составляются с помощью хорошо известных методов МКТ и МУН, причем для параметрических систем они имеют вид приведенный в таблице 2.

Уравнения, приведенные в Таблице 2, должны быть дополнены соответствующими начальными условиями (задача Коши).

Таблица 2

МКТ			,		Неоднородная система линейных интегродифференциаль-ных уравнений с переменными коэффициентами
МУН				,	Неоднородная система линейных интегродифференциаль-ных уравнений с переменными коэффициентами

Уравнения длинных линий с переменными параметрами имеют вид:

(2.12)

и дополняются соответствующими начальным и граничным условиями.

Необходимо отметить, что колебания в параметрических устройствах описываются параметрическими уравнениями общего метода решения которых нет. Т.е. для линейных параметрических цепей нельзя в общем случае построить решение задачи анализа колебательного процесса.

Решение построено только для частных случаев:

1. Если цепь состоит только из сопротивлений R, тогда уравнение, описывающее колебания в такой системе, имеет вид: - система алгебраических уравнений.

2. Если в резистивной цепи имеется один энергоемкий элемент, тогда процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка (уравнение с полуцелой степенью свободы) (2.13). Для таких систем разработан метод называемый методом Туркина.

(2.13)

3. Если колебательный процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка (2.14)

(2.14)

то его можно свести к какому-нибудь известному уравнению с переменными коэффициентами (например, к уравнению Матье, Хилла, Бесселя и др.).

4. Если параметры элементов цепи изменяются значительно медленнее колебаний u(t) и i(t), тогда применимы приближенные методы.

Выводы. С помощью переменных индуктивностей и емкостей можно изменять энергию системы, поэтому характер свободных колебаний в параметрических системах может существенно отличаться от колебаний в системах с постоянными элементами.

Следует также отметить, что для линейных параметрических систем применим принцип наложения, следовательно, в задачах прохождения сигналов через устойчивые параметрические цепи решение может быть представлено в интегральном виде:

, (2.15)

либо

, (2.16)

либо

, (2.17)

где – параметрические функции цепей, отыскание которых также встречает принципиальные трудности. Именно поэтому ключевыми задачами в теории параметрических систем являются задачи по определению отклика на гармоническое или импульсное воздействия.

Одним из важнейших свойств, принципиально отличающих параметрические цепи от линейных, является следующее: в параметрических системах с переменными параметрами происходит обогащение спектра колебаний – возникают новые гармонические составляющие комбинационных частот. Например, в R – цепи с периодическим коэффициентом передачи , возбуждаемой периодическим сигналом, выходное колебание

(2.18)

содержит гармонические составляющие комбинационных частот .