2.2. Жесткость

Рассмотрим свободные колебания системы (см. рис. 2.1,а), считая, что сопротивления движению отсутствуют. Переместим массу из положения покоя О в начальное положение О₁; пусть ОО₁ = х₀. Под действием сил упругости масса А начнет двигаться от О₁ к О. Запас потенциальной энергии, полученной на пути х₀ (О до О₁), зависит от длины пути и от жесткости пружины. Жесткостью называют силу, которую нужно приложить к пружине, чтобы растянуть или сжать ее на 1 м. Величину с изменяют в н/м, и сила P = cx н.

Рис. 2.3. К определению потенциальной энергии системы

Если сила пружины пропорциональна перемещению ее конца (характеристика ее – прямая линия), то запас потенциальной энергии измеряется площадью заштрихованного треугольника на рис. 2.3, , а в крайнем положении . Этот запас при колебаниях (без трения) остается неизменным и только меняет форму: потенциальная энергия W_p переходит в кинетическую W_к и обратно. В любой момент

W_р + W_к = W₀. (2.1)

Уравнение (2.1) справедливо в любом случае, какова бы ни была характеристика пружины. В рассматриваемом случае, для витой цилиндрической стальной пружины, характеристика пружины – прямая линия. На практике часто применяют пружинящие элементы с другими характеристиками. Можно, например, стремясь ограничить величину перемещений при случайных очень больших толчках, поставить, кроме основной пружины, короткую дополнительную, как схематически показано на рис. 2.4, а. Тогда при перемещении ОО₁ жесткость будет равна жесткости внутренней пружины с₁, а далее, на пути от О₁ к О₂, суммарные жесткости обеих пружин с₁ + с₂. При обратном движении сперва жесткость равна с₁ + с₂, а начиная от точки О₁ до О, будет действовать сначала сжатая, а затем (от О по направлению к О₃) уже растянутая внутренняя пружина, и жесткость снова равна с₁. Характеристика пружины этого устройства показана на рис. 2.4, б.

Рис. 2.4. Нелинейная система

Здесь уже нет пропорциональности между силой и перемещением, но по-прежнему начальный запас потенциальной энергии W₀, равной площади фигуры ОО₁О₂МО, будет равен запасу потенциальной энергии в другом крайнем положении, выражаемому площадью треугольника ONO₃. Ясно, что при этом путь ОО₃ будет больше, чем ОО₂ – масса подпрыгнет вверх от среднего положения на большее расстояние, чем опустилась вниз. Возможны различные непрямолинейные характеристики пружинных устройств, обеспечивающие требуемые условия. В ряде случаев упругие элементы делают не из стали, а целиком или частично из резины. Резиновые элементы при сжатии по мере увеличения деформации становятся более жесткими, т.е. характеристика их не прямая линия, а плавная кривая.

Приводимый ниже вывод закона колебательного движения системы с одной степенью свободы относится к системе с прямолинейной характеристикой пружины (см. рис. 2.3). Движение в этом случае описывается линейным дифференциальным уравнением, т.е. содержащим только первые степени искомой функции и ее производных. Если же жесткость с сама зависит от х (рис. 2.4, а), т.е. с = f(х), то уравнение делается нелинейным. Колебания, описываемые такими уравнениями, тоже называются нелинейными. В большинстве случаев, при точном рассмотрении, колебания оказываются нелинейными, и только для упрощения задачи их рассматривают приближенно как линейные, что вполне оправдывается в ряде практических применений теории достаточной точностью результатов.