2. . Импульсные и ударные силы

Импульсная сила. Импульсом силы F(t) называется сумма произведений F(t)dt – элементарных импульсов. При непрерывном изменении силы на участке 0≤t≤τ выражается в виде интеграла

. (1.31)

Импульсной силой называют силу, которая действует кратковременно на участке времени 0 ≤ t ≤ τ, т.е. удовлетворяет условиям

при , при , (1.32)

где τ – длительность импульса.

Действие импульсной силы обычно повторяется через равные или неравные промежутки времени.

Характеристики ударных сил. Если максимальное значение импульсной силы достаточно большое по сравнению с максимальными значениями других сил, действующих на звенья механизма, то ее называют ударной силой, а промежуток времени τ – длительностью удара. Вид функции, определяющей характеристику ударной силы во времени, называется формой удара. На рис. 1.7 показаны типовые формы удара: мгновенный импульс (рис. 1.7, а), прямоугольный импульс (рис. 1.7, б), полуволна синусоиды (рис. 1.7, в) и отрицательная экспонента (рис. 1.7, г).

Дельта-функция. Мгновенный импульс соответствует классическому удару, при котором за бесконечно малый промежуток времени dt ударная сила F(t) стремится к бесконечности. Однако импульс ударной силы имеет при этом конечное значение S. Для аналитического описания мгновенного импульса используют единичную импульсную функцию или дельта-функцию δ(t), которая равна нулю всюду, кроме точки t = 0; в этой точке она обращается в бесконечность, причем

. (1.33)

Эти свойства дельта-функции можно наглядно пояснить, если рассматривать как предел функции

при β → ∞.

При t = 0 функция β(t, β) = β/π, т.е. при β → ∞, функция ρ(t, β) в точке t = 0 стремится к бесконечности. В любой другой точке при β → ∞ функция ρ(t, β) стремится к нулю.

На рис. 1.8 показаны графики функций ρ(t, β) при значениях β = 1, 2 и 10. С увели­чени­ем β получаем при β → ∞ график дельта - функции δ(t), условно изображенной на рис. 1.7, а.

Площадь, заключенная между осью абсцисс и функцией ρ(t, β) на рис. 1.8, выражается интегралом

.

Рис. 1.7. Формы удара: а – мгновенный; б – прямоугольный;

в – полуволна синусоиды; г – отрицательная экспонента

Принимая во внимание, что

,

получаем для любого значения β

,

что совпадает с интегралом (1.33) для дельта-функции δ(t). Этот интеграл можно рассматривать также как значение мгновенного импульса ударной силы δ(t), обращающейся в бесконечность в точке t = 0 и равной нулю во всех других точках.

Рис. 1.8. Дельта-функция

Если же требуется получить мгновенный импульс, равный S, то следует рассмотреть предел функции S_ρ(t, β) при β → ∞. Тогда получаем функцию S δ(t), которая также равна нулю всюду, кроме точки t = 0. В этой точке S δ(t) стремится к бесконечности, но мгновенный импульс, равный интегралу

, (1.34)

имеет конечную величину.

Иногда удобнее считать, что дельта-функция обращается в нуль не при t = 0, а при t = t₀. Тогда она обозначается через δ(t - t₀) и определяется как функция, равная нулю при всех значениях t, кроме значения t = t₀, при котором она обращается в бесконечность, причем

. (1.35)

Контрольные вопросы

1. Чем характеризуется сила?

2. Какие силы представляются интегралом Фурье и спектральной плотностью?

3. Чем отличается сила трения скольжения от силы трения покоя и какие виды трения скольжения встречаются на практике?

4. Как определяются силы трения скольжения и моменты сил трения в цилиндрических кинематических парах?

5. Чем характеризуются силы упругости при растяжении – сжатии и кручении звеньев механизма, податливость?

6. Чем характеризуются импульсные и ударные силы?

7. Какие формы удара могут быть в механизмах? Дать понятие о дельта-функции.