2.7. Резонанс

При ω = ω_c амплитуда вынужденных колебаний становится бесконечно большой [см. формулу (2.27)]. В действительности при вынужденных колебаниях сопротивления (они пока не учитывались) ограничивают рост амплитуды, которая становится, впрочем, иногда настолько большой, что колеблющаяся система разрушается от чрезмерных напряжений в пружине. Совпадение частоты возбуждающей силы с частотой собственных колебаний системы называют резонансом. Подчеркнем, что речь идет о совпадении частот колебаний, а не вынужденных колебаний с одновременно имеющими место свободными собственными колебаниями, которых нет в рассматриваемом установившемся вынужденным движении. Иначе говоря, резонансные колебания тоже вынужденные, но особенно сильные вследствие того, что возбуждающая сила при ω = ω_c особенно успешно («в такт») рассчитывает систему. Что именно происходит в резонансе, лучше рассмотреть не в идеализированной системе без трения, а в действительной, где работа возбуждающей силы затрачивается на преодоление сопротивлений движению. В идеализированной системе без трения на поддержание колебаний с данной постоянной частотой не затрачивается никакой работы. Отсутствие затраты энергии противоречит нашему привычному представлению о поддержании колебаний периодической силой, и не случайно: таких колебаний в природе не бывает. Исследуем идеализированный случай, полезный для уяснения явлений при колебаниях с трением. Из уравнения (2.27) следует, что x₀ при ω < ω_с имеет одинаковый знак с силой Р (кривая в верхней полуплоскости на рис. 2.10), а при ω > ω_с – обратный знак (штриховая кривая). Обычно обе ветви кривой изображают в верхней части чертежа, как показано на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Резонансная кривая

Одинаковый знак силы и отклонения означает, что на диаграмме (см. рис. 2.5) для построения синусоиды колебания и синусоиды силы нужно изобразить радиусы Р и x₀ совпадающими (фазовый угол 0º), а разные знаки (после резонанса) – что радиусы эти направлены противоположно (фазовый угол 180º). Эти направления силы и отклонения массы от среднего положения показаны на рис. 2.11, а и б.

На рис 2.11, в и г даны направления силы упругости (всегда противоположные х, т.е. – сх) и силы инерции ( ) [см. замечание о силе инерции после уравнения (2.9)]; в обоих случаях изображены максимальные значения: – сх₀ и mx₀ω².

До резонанса (рис. 2.11, в) возбуждающая сила направлена в сторону отклонения массы от среднего положения и против силы упругости, а после резонанса возбуждающая сила и сила упругости действуют в одну и ту же сторону, против отклонения, и вместе (условно) уравновешивают силу инерции. Так как сила инерции есть мера той силы, которая вызывает движение массы m с ускорением , то схема (рис. 2.11, в и г) показывает, что до резонанса движение создается разностью возбуждающей силы и силы упругости, а после резонанса – их суммой.

При таком изображении, как на рис. 2.11, мы искусственно заменяем картину движения (динамическую) некоторым статическим равновесием действующих на систему сил (внешней и силу упругости) и противоположной им силы инерции , условно прилагая ее к массе m (принцип Даламбера). Если пользоваться законом Ньютона, т.е. рассматривать не условное равновесие сил, а реальное движение, то мы должны говорить, что мерой суммы всех сил, вызывающих движение, служит произведение массы на ускорение ( ), что приводит при написании уравнения совершенно к тому же уравнению, что и принцип Даламбера. Читатель, конечно, знает эти школьные истины, но повторение их оправдано тем, что нигде, пожалуй, так сильно не чувствуется потребность в отчетливом понимании соотношения входящих в уравнение движения величин, как в теории колебаний (т.е. при периодическом движении). Именно поэтому вывод уравнения (2.6) был начат с уравнения (2.1), где вместо сил введены запасы энергии упругой деформации и энергии движения (кинетической), что позволяет найти закон движения из физически ясного принципа – закона сохранения энергии.

Рис. 2.11. Направление силы и движения до резонанса и после него

Изменение направления силы Р относительно направления отклонения на обратное (фазовый угол 180º вместо 0º) после прохода через резонанс происходит в действительности, при колебаниях с потерями, не мгновенно, а постепенно.

Рассмотрим, как возбуждающая сила вносит работу в систему и куда уходит внесенный ею запас. На рис. 2.12, а показано построение синусоиды колебательного движения и синусоиды силы по времени, а под ними – кривая W по пути х.

На участке ab для каждого элемента времени сила и путь положительны, приращение пути dx тоже положительно. Следовательно, элементарная работа Pdx положительна, и на всем участке пути a´b´ знак W плюс. На участке же bc сила по-прежнему положительна, но путь dx отрицательный (отклонение от среднего положения уменьшается), и, следовательно, элементарная работа равна Pdx, чему на нижней диаграмме соответствует на пути b´c´ отрицательная площадка. Та же картина повторяется на второй половине цикла, по другую сторону от средней точки с´; так как на участке cd сила отрицательна и dx отрицательный, то и работа снова изображается положительной площадкой. В результате цикла вынужденных колебаний без трения возбуждающая сила никакой работы в систему не вносит.

Подобное же рассуждение (рис. 2.12, б) показывает, что и после резонанса возбуждающая сила не вносит работы в систему. Если из какого-либо внешнего источника (например, от расширения сжатого газа под поршнем на пружине) на первой четверти колебания (от среднего положения в крайнее) системе (поршню на пружине) сообщается энергия, то на второй четверти колебания сообщенная энергия возвращается источнику (газ вновь сжимается поршнем). В итоге внешняя сила, находящаяся в фазе с колебанием, никакой работы в систему не вносит. Запас потенциальной энергии при установившихся вынужденных колебаниях с амплитудой х₀ остается постоянным. В действительной системе возбуждающая сила затрачивает, конечно, работу на поддержание установившихся колебаний, преодолевая сопротивления, но не увеличивает потенциальной энергии системы.

Рис. 2.12. Работа возбуждающей силы на протяжении периода колебаний вне резонанса

Если возбуждающая сила не вносит работы в систему, то как объяснить, что вблизи резонанса амплитуды вырастают? Ведь это невозможно без увеличения запаса энергии . Напомним, что речь шла об установившихся вынужденных колебаниях с постоянной амплитудой х₀. Для поддержания этих колебаний (без потерь) действительно затрачивать работу не нужно. Что касается переходного процесса от одной частоты возбуждения к другой, при которой устанавливается новая, большая амплитуда вынужденных колебаний, то он возможен лишь при внесении дополнительного запаса энергии.

Раскачивание системы в резонансе можно пояснить примером струны, которая начинает звучать, если на некотором расстоянии от нее заставить издавать тон другую струну, настроенную на одинаковую с первой ноты.

Одинаково настроенная неподвижная струна имеет ту же собственную частоту, что и звучащая, посылающая к ней порции энергии с каждой звуковой волной. Эти порции энергии накапливаются во второй струне, так как раскачивающая ее сила (давление звуковой волны) действует в такт колебаниям (вследствие равенства собственных частот струн) со сдвигом фаз.

Приближение к резонансу сопровождается увеличением во много раз тех напряжений, которые вызывает приложение статической или лишь очень медленно изменяющейся силы.

Обычная практическая задача при борьбе с нежелательными колебаниями заключается поэтому прежде всего в избежании резонанса. Для этого нужно знать собственную частоту системы и частоту возбуждающей силы. Определение собственной частоты и представляет собой, в большинстве случаев, первую и основную задачу исследования нежелательных колебаний.