6.4. Ударные гасители колебаний

В ударных гасителях колебаний эффект виброзащиты основывается на рассеянии энергии при соударении гасителя и защищаемого объекта. На рис. 6.5 показана схема виброизоляционной системы с плавающим ударным гасителем колебаний, в которой гаситель в виде шара установлен свободно с зазором 2∆ внутри полости, соединенной с объектом. Уравнения движения этой системы при возбуждении колебаний силой имеют вид

(6.11)

где у – обобщенная координата объекта, у_r - обобщенная координата гасителя, с – коэффициент жесткости, – реакция на гаситель со стороны объекта.

Рис. 6.5. Схема ударного гасителя колебаний

Реакция при ударном воздействии гасителя и объекта выражается нелинейной функцией перемещения гасителя относительно объекта z = y - y_r. В первом приближении эту реакцию можно считать линейно зависящей от z и :

.

Тогда первое уравнение системы (6.11) с учетом соотношения можно представить в виде

. (6.12)

6.4.1. Линеаризация упругой составляющей реакции на гаситель

Гармоническая линеаризация упругой составляющей реакции на гаситель, т.е. определение коэффициента с_r, основывается на разложении в ряд Фурье относительного перемещения z составляющей реакции .

(6.13)

Реакция есть периодическая функция с периодом Т, равным времени между двумя ударами о верхний или нижний упор. В первом приближении эту функцию можно считать гармонической с угловой частотой ω = 2π/Т:

,

где R₀ – амплитуда реакции .

.

Рис. 6.6. Графики зависимости и

Отсюда

. (6.14)

Усеченный ряд Фурье функции z(R) по (6.13) имеет вид

,

, , ,  = t.

Вычисление коэффициентов а₀, а₁ и b₁ при дает

,

,

.

Отсюда

. (6.15)

Приравнивая значения z из (6.14) и (6.15), имеем

или . (6.16)

6.4.2. Линеаризация диссипативных сил

Гармоническая линеаризация диссипативных сил, т.е. определение коэффициента b_r, основывается на равенстве потери энергии при ударе работе эквивалентной диссипативной силы за время гармонического колебания по закону z = z₀ sin t. Потерю энергии при однократном ударе со скоростью находим по теореме Карно:

, (6.17)

где r – коэффициент восстановления скорости при ударе. Принимая, что удары о верхний и нижней упоры происходят при максимальной относительной скорости , получаем

. (6.18)

Работа эквивалентной диссипативной силы за период колебаний Т=2π/ равна

.

При имеем

. (6.19)

Приравнивая значения Е и E_r, получаем

. (6.20)

6.4.3. Определение амплитуд колебаний

Система уравнений движения (6.11) с учетом (6.12) имеет вид

Обозначим через Y, Z, X изображения функции y, z, , получаем при нулевых начальных условиях:

или

Отсюда

Следовательно, динамические передаточные функции:

При гармоническом возбуждении силой комплексные амплитуды колебаний A(iω) и z₀(iω) можно определить через частотные передаточные функции:

Имея в виду, что частотные передаточные функции получаются из динамических заменой s на iω, получаем

После раскрытия скобок получаем

где

Отделяя действительную часть от мнимой, находим

где

Отсюда амплитуды A и z₀:

(6.21)

. (6.22)

6.4.4. Определение оптимальной настройки гасителя

Из (6.21) и (6.22) следует, что при выполнении условия

(6.23)

между амплитудами A и z₀ имеется соотношение

.

Подставляя значения z₀ из (6.16) и b_r из (6.20), имеем

т.е. при r → 1 амплитуда колебаний неограниченно уменьшается. Однако это заключение справедливо лишь при условии, что при определении эквивалентных коэффициентов жесткости с_r и сопротивления b_r можно пренебречь амплитудами гармоник с частотами выше основной ω.

6.4.5. Определение оптимальных параметров гасителя

Из условия (6.23) оптимальной настройки гасителя после подстановки значения с_r из (6.16) получаем

или . (6.24)

Пусть, например, вынуждающая сила вызвана разгоном или торможением вращающейся неуравновешенной массы m_A, установленной с эксцентриситетом е:

.

Тогда из первого уравнения системы (6.11) при малых у и можно приближенно принять

R₀ ≈ m_Aеω²,

и соотношение (6.24) принимает вид

,

т.е. масса m_r и зазор ∆ одинаково влияют на настройку плавающего гасителя.

Контрольные вопросы

1. Произвести в общем виде расчет пружинного гасителя колебаний без трения.

2. Как определить параметры динамического поглотителя колебаний?

3. Как в общем виде определить параметры маятникового динамического поглотителя колебаний?

4. Дать схему ударного гасителя колебаний.

5. Как осуществляется линеаризация упругой составляющей реакции на динамический поглотитель колебаний?

6. Как осуществляется линеаризация диссипативных сил?

7. В общем виде определить амплитуды колебаний.

8. Как определяется оптимальная настройка динамического гасителя колебаний?

9. Определить оптимальные параметры динамического гасителя.