2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.

Теорема. Если векторы и заданы своими координатами: то их скалярное произведение определяется формулой

Из теоремы вытекают два важных следствия.

С л е д с т в и е 1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство

С л е д с т в и е 2. Угол между векторами и определяется равенством

(1)

Пример. Даны три точки А (1; 1; 1), В (2; 2; 1) и С (2; 1; 2). Найти угол  = .

Р е ш е н и е. Применяя теорему 2 ( п. 2.3 ), найдем Отсюда на основании формулы (1) получаем

Следовательно,  = 60.

4. Векторное произведение

1. Определение векторного произведения. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Например, в записи ( ) вектор считается первым,  вторым,  третьим; в записи ( ) вектор  первым,  вторым,  третьим.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется тремя условиями:

1. длина вектора равна где  - угол между векторами и ;

2. вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. векторы , , образуют правую тройку векторов (рис. 11).

Заметим, что условия 2) и 3) относятся к случаю, когда т. е. вектор . Если же (т.е. либо, по крайней мере, один из векторов и нулевой, либо ), то векторное произведение

определяется только условием 1): в этом случае .

Р ис. 11

Понятие векторного произведения имеет свой источник в механике. Пусть в точке М твердого тела приложена сила и О – некоторая точка пространства. Как известно из механики, моментом силы относительно точки О (точка приложения момента) называется вектор , который: 1) имеет длину, равную , где   угол между векторами ; 2) перпендикулярен плоскости , проходящей через точки О, М, К; 3) направлен так, что из его конца сила представляется вращающей плоскость  вокруг точки О против часовой стрелки (рис. 12).

Из рисунка, на котором , видно, что представляет собой векторное произведение

Рис. 12

2 . Основные свойства векторного произведения.

1. , если и - коллинеарные векторы.

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов и равна площади S параллелограмма, построенного на этих векторах (см. рис. 11).

3. (свойство антиперестановочности сомножителей).