1.2. Определители

1. Определение определителя. Пусть дана квадратная матрица третьего порядка, элементы которой для удобства обозначим через а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃:

(1)

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом

 =

и определяемое равенством

a₁ b₂ c₃+b₁ c₂ a₃+c₁ a₂ b₃ – c₁b₂ a₃ – b₁ a₂ c₃ – a₁ c₂ b_3. (2)

Числа а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами a_1, b_2, c_3, называется главной, а диагональ, образованная элементами a_3, b_2, c_1, - побочной.

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком «+», а какие со знаком «», полезно использовать следующее правило треугольников:

+ 

Это правило позволяет легко записать формулу (2) и вычислить данный определитель. Например,

= 31(2)+(2)32+(2)01–211–

-303(2)(2) (2) = 12.

2. Свойства определителей. Сформулируем эти свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи и определителям любого порядка.

1^о. Величина определителя не изменится , если его строки и столбцы поменять местами, т. е.

= .

2^о. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на –1. Например,

= .

3^о. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4^о. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число  равносильно умножению определителя на это число . Например,

=  .

5^о. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6^о. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7^о. Если каждый элемент п-го столбца (п-ой строки) определителя представляет собой сумму двух определителей, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Например,

= + .

8^о. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится.

Для формулировки следующего свойства определителя познакомимся с понятиями алгебраического дополнения и минора.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента а₁ определителя является определитель второго порядка _, минором элемента b₁ – определитель второго порядка и т. д.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженного на (1)^р, где р – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так, алгебраическое дополнение элемента а₁, обозначается через А₁, элемента b₁ – через В₁ и т. д.

Если, например, элемент а₂ находится на пересечении первого столбца и второй строки, то для него р = 1+2 = 3 и алгебраическим дополнением является A₂ = (1)³ . Таким образом, алгебраическое дополнение и минор одного и того же элемента могут отличаться только знаком.

9^о. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

; (3)

; (4) . (5)

Запись определителя по какой-нибудь из формул (3) – (5) называется разложением его по элементам некоторого столбца или некоторой строки (первая формула дает разложение по элементам первого столбца и т. д.).

Пример. Вычислить определитель разлагая его по элементам первой строки. Имеем

.

10^о. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или строки равна нулю.