6.3. Теоремы о пределах функции

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести все теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема 1. Пусть функции f(х) и g (x) имеют в точке х₀ пределы В и С. Тогда функции f (x)  g(x), f(x)  g(x) и (при С  0) имеют в точке х₀ пределы, равные соответственно В  С, В  С и .

Теорема 2. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ , за исключением, быть может, самой точки х₀ , и функции f(x), h(x) имеют в точке х₀ предел, равный А, т.е. . Пусть, кроме того, выполняются неравенства f(x)  g(x)  h(x). Тогда

.

З а м е ч а н и е. Теоремы 1 и 2 верны также и в случае, когда х₀ является одним из символов , +, .

6.4. Два замечательных предела

1. Первый замечательный предел .

С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.

Пример 1. Найти .

Р е ш е н и е. Знаменатель дроби при х  0 стремится к нулю. Поэтому теорема 1 из п. 6.3 здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем данную дробь

Пример 2. Найти

Р е ш е н и е. Имеем

Пример 3. Найти .

Р е ш е н и е. Имеем

2. Второй замечательный предел

Второй замечательный предел имеет широкое применение. С его помощью находятся многие другие пределы.

Пример 4. Найти

Р е ш е н и е. Сделаем замену переменной, полагая 1/x = . Тогда очевидно, что    при х  0. Поэтому

Пример 5. Найти

Р е ш е н и е. Положим х = 3t. Тогда при х   и t   . Следовательно,

Пример 6. Найти

Р е ш е н и е. Для нахождения предела преобразуем данную дробь:

Но (см. пример 4). Поэтому В частности, при а = е.

6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1. Бесконечно малые функции.

Определение 1. Функция f(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке х = х₀ (или при х  х₀), если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при х   x  + x   x  x₀  и х  x₀+.

Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке »: функция f (х) называется бесконечно малой в точке х = х₀, если для любого   0 существует   0 такое, что для всех х  X, х  х₀, удовлетворяющих неравенству |x  x₀| < , выполняется неравенство |f(x)| < ; или с помощью логических символов:

(  > 0) (  > 0) ( x  X,  х  х₀ , |x  x₀| <  )  |f(x) ;

и «на языке последовательностей»: функция f(х) называется бесконечно малой в точке х = х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности

(29)

{х_n} значений аргумента х, отличных от х₀, соответствующая последовательность {f (х_п)} является бесконечно малой.

Теорема 1. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция (x)=f(x) – A была бесконечно малой при х  х₀.

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при х  х₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при х  х₀.

Все сказанное о бесконечно малых функциях при х  х₀ справедливо и для бесконечно малых функций при х   x   x x₀ и х  x₀+.