3. Основные свойства линейных операций.

1^о. (переместительное свойство сложения).

2^о. (сочетательное свойство сложения).

Рассмотрим еще три свойства линейных операций, два из которых относятся одновременно к сложению векторов и умножению вектора на число. Пусть  и  – произвольные числа, и – любые векторы. Тогда:

3^о. (сочетательное свойство умножения);

4^о. (распределительное свойство относительно суммы чисел);

5^о. (распределительное свойство относительно суммы векторов).

З а м е ч а н и е 4. Сформулированные свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4^о и 5^о можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

4. Теоремы о проекциях векторов.

Теорема 1. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось (рис. 7), т. е. .

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема 2. При умножении вектора на число  его проекция на ось также умножается на это число (рис. 8), т. е.

Рис. 7

Рис. 8

.

С л е д с т в и е 1. Из теоремы 1 вытекает, что если и , то .

С л е д с т в и е 2. Из теоремы 2 вытекает, что если , то для любого числа .

Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах. В самом деле, равенство равносильно равенствам или , т. е. векторы и коллинеарны в том только в том случае, когда их координаты пропорциональны.

5. Разложение вектора по базису. Пусть векторы  единичные векторы осей координат, т. е. , и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат. Тройка векторов называется базисом.

Теорема 3. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису , т. е. представлен в виде , где , ,  - некоторые числа.

4. Скалярное произведение векторов

1. Определение и основные свойства скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначают  . Итак, , где   угол между векторами и (рис. 9).

Так как , то можно записать

Рис. 9

Типичным примером скалярного произведения в физике является формула работы где вектор  сила , точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора (рис. 10).

Рис. 10

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

1^о. (свойство перестановочности сомножителей).

2^о. (свойство сочетательности относительно умножения на число).

З а м е ч а н и е 1. Из свойств 1^о и 2^о следует, что .

3^о. (свойство распределительности относительно суммы векторов).

З а м е ч а н и е 2. Данное свойство дает право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно. В силу свойства 1^о можно при этом не заботиться о порядке сомножителей, а свойство 2^о позволяет (см. замечание 1) объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей. Например,

.

4^о.

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается .

5^о. если  , и, обратно,  , если и

З а м е ч а н и е 3. Из свойств 4^о и 5^о для базисных векторов непосредственно получаем следующие равенства: