Задачи к п. 8.4

1. Определить промежутки возрастания и убывания функции:

1) 2)

3)

4) 5)

2. Доказать, что функция убывает на всей числовой прямой.

3. Найти максимумы и минимумы функций:

1) 2)

3)

4) 5)

4. Решеткой длиной 120 метров нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

5. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

6. Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании а данного треугольника, а две вершины – на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту h.

7. Из квадратного листа картона со стороной а вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

8. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения р. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

10. В прямой круговой конус радиуса R и высоты h вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

11. В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

12. Из сектора круга радиуса R свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?

13. Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Оx найти точку, сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.

14. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

1)

2) 3) 4) 5)

6)

15. При каком значении а кривая имеет точку перегиба при х = 1?

16. При каком значении а кривая будет иметь выпуклость вниз на всей числовой прямой?

17. Найти асимптоты графиков функций:

1) 2) 3) 4) 5)

Построить графики функций:

18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

26. 27. 28. 29. 30.

31. 32. 33. 34. 35. 36. . 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65.

66. 67. 68. 69. 70.

71. 72.

73.

Ответы к п. 8.4

1. 1) Возрастает на , 2) возрастает на и убывает на , 3) возрастает на и убывает на 4) возрастает на и убывает на 5) возрастает на и убывает на 3. 1) При х=1/2 – минимум , 2) при х=1/e – минимум, 3) при х=1 – минимум, ; при х= 0 – максимум, при x = 3 – минимум, f(3) =  37/4; 4) при х = 1 – минимум, при х = 1 – максимум, 5) при х= 0 – минимум, при х = 2 – максимум , 4. 3030 м. 5. 5 и 5. 6. ah/4. 7. а/6. 8. 9. 10. 11. .

12. 13. (3/2, 0). 14. 1) При х=2 – точка перегиба, на (- , 2) –

выпуклость вверх, на (2,  вниз; 2) при х=2 и х=1 – точки перегиба, на (- , -2) – выпуклость вниз, на (2, 1) – вверх, на (1,  вниз; 3) на (  выпуклость вниз, точек перегиба нет; 4) при х= 1 и х=1 – точки перегиба, на (  выпуклость вверх, на (1, 1) – вниз, на (1,  вверх; 5) при х= 1/2  точка перегиба, на (0, 1/2) – выпуклость вверх, на (1/2,  вниз; 6) на выпуклость вниз, точек перегиба нет. 15. а= 3.

16. 17. 1) х = 1 – вертикальная асимптота, у = 5  горизонтальная; 2) х=1/2 – вертикальная асимптота, у = х+1/2 – наклонная; 3)  вертикальные асимптоты, у = 2х+1 – наклонная; 4) х= 0  вертикальная асимптота, у = х+1 – наклонная; 5) две различные наклонные асимптоты при и при 18. При х = 1  максимум, y=2; при x=1 – минимум, y= 2; при x=0 – точка перегиба. 19. При x=2  максимум, y=16; при х= 2  минимум, y= 16; при x=0 – точка перегиба. 20. При х= 2  максимум, y= 4/3; при х=0  минимум, y=0; при x= 1 – точка перегиба. 21. При x=  минимум, y= 4; при х=0  максимум, y=0; при x= – точки перегиба. 22. Область определения функции (, 0). При x= 1  максимум, y=1; на (, 0) – выпуклость вверх. 23. Область определения функции (, 1). При x=2/3  максимум, y= ; на (, 1) – выпуклость вверх. 24. При x=2  максимум, y=3/ ; при x – точка перегиба; y=0 – горизонтальная асимптота при . 25. Область определения ; y=2x и y= 2x – наклонные асимптоты при и при . 26. Область определения ; y=0 – горизонтальная асимптота. 27. При x= 0  минимум, y= 1. 28. При х = 0  максимум, y = 0; при х= 1  минимум, y= 1. 29. При x=1  минимум, y=1. 30. При x=2  минимум, y= ; при х= 2  максимум, y= ; при x=0 – точка перегиба; y=0 – горизонтальная асимптота. 31. При x=  минимум, y= ; при х=0  максимум, y= . 32. При х=3/5  максимум, y= ; при х=1  минимум, y=0; при x=6/5 – точка перегиба. 33. Экстремальных точек нет; х=  вертикальные асимптоты, y= 0 – горизонтальная асимптота. 34. Экстремальных точек нет. х=  вертикальные асимптоты, y=0 – горизонтальная асимптота. 35. При х=2/5  максимум, y= ; при х = 0  минимум, y=0; при x= – точка перегиба. 36. При х=1  максимум, y= ; при х= 1  минимум, y= ; при x=0 , х= – точки перегиба; y=0 – горизонтальная асимптота. 37. При x = 0  минимум, y= 1; при х = 1 – вертикальная асимптота, y = 0 – горизонтальная асимптота. 38. При х=1  максимум, y=1; при x=1/2 – точка перегиба; х = 2 – вертикальная асимптота, y = 0 – горизонтальная асимптота. 39. При х= 1  максимум, y=2; при х=1  минимум, y=0; при x=0, х= – точки перегиба; y=1 – горизонтальная асимптота. 40. При х=0  максимум, y=0; при x= – вертикальные асимптоты, y=1 – горизонтальная асимптота. 41. При х= 1  максимум, y = 0; x = 0, x= 2 – вертикальные асимптоты,

y = 1 – горизонтальная асимптота. 42. При х=2  максимум, y=2/е; при x=4 – точка перегиба; y=0 – горизонтальная асимптота при . 43. При х=1  минимум, f(1) = e; точек перегиба нет; х= 0 – вертикальная асимптота, y = 0 – горизонтальная асимптота при . 44. При х=1/2  минимум, ; точек перегиба нет; х=0 – вертикальная асимптота при , . 45. При х = 0 – максимум, y=1; при х= 1 – точка перегиба;

y = 0 – горизонтальная асимптота. 46. При х=1  максимум, y= ; при х= 1  минимум, y= ; при х= – точки перегиба; y = 0 – горизонтальная асимптота. 47. При х= 3  минимум, y= ; х= 3 – точки перегиба; y = 0 – горизонтальная асимптота при . 48. При х=3  максимум, y= ; при х=0, х=3 – точки перегиба; y=0 – горизонтальная асимптота при . 49. При х=2  максимум, y= ; х=1 – вертикальная асимптота, y=0 – горизонтальная асимптота при . 50. При х= 3  минимум, y= ; при х=1  максимум, y= ; х= – вертикальные асимптоты; y = 0 – горизонтальная асимптота при . 51. Экстремальных точек нет. х=0 – вертикальная асимптота, y=  горизонтальные асимптоты, . 52. Экстремальных точек нет. При х=0 – точка перегиба, y=  горизонтальные асимптоты; . 53. При х= 4 – максимум, ; х= 3 – вертикальная асимптота, y=0 – горизонтальная асимптота при . 54. При х=  максимум, y=1/е; при x=0 – минимум, y=0; y=0 – горизонтальная асимптота; функция неотрицательная.

55. При х=1/е  минимум, y= 1/е; (1;0) – точка пересечения с осью Ох; , точек перегиба нет. 56. При х=1  минимум, y=1; функция положительна, х=0  вертикальная асимптота при . 57. При х=1  максимум, y = 1; при х=  точка перегиба; х = 0  вертикальная асимптота при , y = 0 – горизонтальная асимптота при .

58. При х=1  минимум, y=0; при x= – максимум, y= ; функция неотрицательна. 59. При х=  максимум, y= ; при x=1 – минимум, y=0, при и  точки перегиба; функция неотрицательна. 60. При х=е  минимум, y=е; при x= – точка перегиба; х=1 – вертикальная асимптота. 61. При х=  максимум, y= ; при x= – точка перегиба; х=1 – вертикальная асимптота при , y = 0 – горизонтальная асимптота при .

62. При х=1  минимум, y=2; при x= 1 – максимум, y= 2; х=0 – вертикальная асимптота, y=х – наклонная асимптота. 63. При х=0  максимум, y=0; при x=4 – минимум, y=8; х=2 – вертикальная асимптота, y=х+2 – наклонная асимптота. 64. При х= 3  максимум, y= 49/12; при x=1 – максимум, y=5/4; при x=2 – минимум, y=9/8; при x=9/7 – точка перегиба; х=0 – вертикальная асимптота, y= – наклонная асимптота.

65. При х=2  минимум, y=2; при x= 2 – максимум, y= 2; х=0 – вертикальная асимптота, y=х/2 – наклонная асимптота. 66. При х=1  минимум, y=3; точек перегиба нет; х=0 – вертикальная асимптота, y=2х – наклонная асимптота. 67. При х=  минимум, y= ; при x= – максимум, y=  ; х= – вертикальные асимптоты, y= х – наклонная асимптота. 68. Экстремальных точек нет. При х=0, х=  точки перегиба, y=х – наклонная асимптота. 69. При х=3  минимум, y=27/4; х=1 – вертикальная асимптота, y=х+2 – наклонная асимптота. 70. При х=1/2  минимум, y= ; х=0  вертикальная асимптота при , y=х+3/2 – наклонная асимптота при . 71. Экстремальных точек нет. При х=0 – точка перегиба; y=х+/2 – наклонная асимптота при , y= х  /2 – наклонная асимптота при . 72. При х=0  минимум, y=0; при x= 4 – максимум, y= ; х=1 – вертикальная асимптота, y=х3 – наклонная асимптота. 73. При х= 1/2  максимум, y= 1/2+/4; при x= – минимум, y=1/2/4; y=х/2 – наклонная асимптота при , y=х/2 – наклонная асимптота при .