7. Дифференцирование

7.1. Производная функции

1. Определение производной. Пусть на некотором промежутке Х определена функция y = f(x). Возьмем любую точку х₀  Х и зададим аргументу х в точке х₀ произвольное приращение х такое, что точка х₀+х также принадлежит X. Функция получит приращение у = f(х₀+x) – f (x₀).

Определение. Производной функции y = f(x) в точке х₀ называется предел при х  0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции y = f(x) в точке х₀ используют символы у (х₀) или f  (х₀).

Итак, по определению,

Если для некоторого значения х₀ выполняется условие

то говорят, что в точке х₀ функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной производной определенную выше производную функции иногда называют конечной производной. Если функция f(x) имеет конечную производную в каждой точке х  Х, то производную f  (х) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на X. Из определения производной вытекает и способ ее вычисления.

Пример. Найти производную функции f(x) = x² в точке х = х₀.

Р е ш е н и е. Давая аргументу х в точке х₀ , приращение х, найдем соответствующее приращение функции:

у = f (х₀+х)  f (х₀) = (х₀ +х) ² = + 2х₀ х + (х)²  = 2х₀ х + (х)².

Составим отношение : и найдем предел этого отношения при х0:

Следовательно, производная функции f(x)= х² в точке x₀ равна числу 2х₀ , что в принятых обозначениях можно записать так: f  (x₀) = 2x₀ .

2. Геометрический смысл производной. Пусть функция y= f(x) определена на интервале (а,b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х₀, а точка Р  значению х₀ +x. Проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей.

Обозначим через (х) угол между секущей и осью Ох (рис. 45). Очевидно, что этот угол зависит от х. Если существует то прямую с угловым коэф­фициентом k = tg ₀ , проходя­щую через точку М(х₀; f (x₀)),

называют предельным положе­нием секущей МР при x  0 (или при Р  М).

Рис. 45

Определение. Касательной S к графику функции y = f(x) в точке М будем называть предельное положение секущей МР при x0, или, что то же, при Р  М.

Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел причем предел ₀ равен углу наклона касательной к оси Ох.

Если функция y = f(x) имеет в точке х₀ производную, то существует касательная к графику функции y = f(x) в точке М(х₀; f (x₀)), причем угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной f  (х₀).

3. Физический смысл производной. Предположим, что функция y = f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т.е. y = f(х) – путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х.

Тогда за время х₀ пройден путь у = f(х₀), а за время х₁ – путь y = f(x₁). За промежуток времени х = х₁ – х₀ точка М пройдет отрезок пути у= f (х₁) – f (х₀) = f (х₀ + х) – f (х₀) (рис. 46).

Рис. 46

Отношение называется средней скоростью движения ( v_ср ) за время x, а предел отношения при x  0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени x₀ ( v_мгн ). Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость ни отражала функция y=f(x), отношение есть средняя скорость изменения у относительно изменения х, а у (х₀)  мгновенная скорость изменения у при х = х₀. Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.