4. Правая и левая производные.

Определение. Правой (левой) производной функции y = f(x) в точке х₀ называется правый (левый) предел отношения при x0 (при условии, что этот предел существует).

Обозначение:

Если функция f (х) имеет в точке х₀ производную, то она имеет в этой точке правую и левую производные, которые совпадают. Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной точке х₀ правую и левую производные, но не имеющие производной в этой точке. Это, например, функция f(x)=|x|, которая имеет в точке х = 0 правую производную, рав­ную (при х  0 y = x), и левую производную, равную (при х < 0 y =  x), но не имеет в этой точке производной, так как

7. 7.2. Дифференцируемость функции

8. 1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.

Определение. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение у в этой точке можно представить в виде

у = А х + (х) x , (1)

где А  некоторое число, не зависящее от х, a (х) – функция аргумента х, являющаяся бесконечно малой при х  0, т. е.

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема 1. Для того чтобы функция y=f(x) была диф­ференцируема в точке x₀ , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной  понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.

Теорема 2. Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке x₀, то она и непрерывна в этой точке.

З а м е ч а н и е. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке. Примером такой функции служит функция f (х)=|х|, ко­торая непрерывна в точке x = 0, но не имеет в этой точке производной, т.е. не является дифференцируемой.

Если функция f (х) имеет производную в каждой точке неко­торого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого про­межутка), то будем говорить, что функция f (х) дифференцируема на указанном промежутке.

7.3. Дифференциал функции

1. Определение и геометрический смысл дифференциала. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке х₀, т.е. ее прираще­ние у в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых:

у = А х + (х) х, где

Слагаемое А х является при х  0 бесконечно малой одного порядка с х (при А  0), оно линейно относительно х. Слагаемое (х) х при х  0 – бесконечно малая более высокого порядка, чем х.

Таким образом, первое слагаемое (при А  0) является глав­ной частью приращения функции y = f(x).

Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке х₀ называется главная, линейная относительно х, часть прира­щения функции в этой точке:

dy =A х. (1)

Если А = 0, то А х = 0, и поэтому слагаемое А х уже не является главной частью приращения у, так как слагаемое (х) х, вообще говоря, отлично от нуля. Однако и в этом слу­чае по определению полагаем дифференциал функции в точке х₀ равным A х, т.е. dy = 0.

Учитывая, что A = , формулу (1) можно записать в виде

dy = х. (2)

Пусть f(x) = х. Тогда по формуле (2)

Поэтому дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной dx = x. Соотношение (2) принимает теперь вид

dy = dх. (3)

Рис. 47

Заметим, что с помощью равенства (3) производную f(x₀) можно вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу dx независимой переменной, т. е.

Дифференциал функции имеет следующий геометрический смысл. Пусть точка М на графике функции y=f(x) соответствует значению аргумента х₀ , точка Р  значению аргумента х₀ + х, прямая MS  касательная к графику y=f(x) в точке М,   угол между касательной и осью Ох. Пусть, далее MN || Ox, PN || Оу , Q  точка пересечения касательной MS с прямой PN (рис. 47). Тогда приращение функции у равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: NQ = tg x = = f  (x₀) х = dy, т.е. дифференциал функции dy равен величине отрезка NQ. Из геометрического рассмотрения видно, что величины отрезков NP и NQ различны. Таким образом, дифференциал функции y = f(x) в точке х₀ равен приращению «ординаты касательной» к графику этой функции в точке М(x₀; f(x₀)), а приращение функции y есть приращение «ординаты самой функции» y = f(x) в точке х₀, соответствующее приращению аргумента, равному х.

2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от х и является главной частью приращения функции y. Само же y зависит от х более сложно. Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке: y  dy.

Пример. Покажем, что если  мало, то можно использовать приближенную формулу

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию При малых х имеем

откуда, положив х₀ = 1, х = , получим

В частности, при  = 0,0003.