6.7. Неопределенные выражения

В п. 6.3 мы рассматривали выражения вида , и, в предположении, что имеют в точке пределы, устанавливали пределы каждого из этих выражений. Были оставлены без рассмотрения случаи, когда пределы (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю.

Рассмотрим, например, частное и предположим, что Здесь мы сталкиваемся с особым обстоятельством: хотя пределы числителя и знаменателя нам известны, но о пределе их отношения, н е з н а я с а м и х э т и х ф у н к ц и й, никакого общего утверждения мы сделать не можем. Этот предел может иметь различные значения или даже вовсе не существовать. Для того, чтобы охарактеризовать эту особенность, говорят, что когда выражение представляет н е о п р е д е л е н н о с т ь вида

Отметим еще ряд неопределенностей: Во всех этих случаях приходится учитывать закон изменения функций , т.е. н е п о с р е д с т в е н н о исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название р а с к р ы т и е н е о п р е д е л е н н о с т и. Так, например, первый и второй замечательные пределы раскрывают соответственно неопределенности и

6.8. Непрерывные функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀.

Определение 1. Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

(1)

Так как то соотношение (1) можно записать в следующем

виде: т.е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела. Приведем равносильное определение непрерывности функции «на языке последовательностей».

Определение 2. Функция f (х) называется непре­рывной в точке х₀ , если для любой последовательности значений аргумента х: х₁, х₂, х₃, ..., х_п, ..., сходящейся к х₀, последователь­ность соответствующих значений функции: f (х₁), f (х₂), f (х₃), ..., f (х_п),... сходится к f(х₀).

Сформулируем определение непрерывности функции «на языке  - ».

Определение 3. Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀, если для любого  > 0 существует  > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих

неравенству | х  х₀ | <  выполняется неравенство | f(x)  f(x₀) | < .

Эквивалентность этих определений очевидна. Запишем определение 3, используя логические символы:

( > 0) (   > 0) (  x  X, | x  x₀| <  ) : | f(x)  f(x₀) | <  .

Если то функцию f(х) называют непрерывной в точке х₀ справа (слева). Если функция f(х) непрерывна в точке х₀ и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой первого определения. Перенесем в равенстве (1) f(х₀) в левую часть и внесем f(х₀) под знак предела. Так как условия х  х₀ и (х  х₀)  0 равносильны, то получаем

(2)

Разность х  х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается, как правило, х, а разность f(x)  f(x₀)  приращением функции в точке х₀ , вызванным приращением аргумента х, и обозначается у. Таким образом, х = х – х₀ , у = f(х₀+x) – f(х₀).

Рис. 43

Отметим, что при фиксированной точке х₀ y является функцией аргумента х. Геометрический смысл приращений ясен из рис. 43. Равенство (2) в новых обозначениях принимает вид

(3)

(29)

Соотношение (3) и является ещё одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.

Определение 5. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при x  0.

Теорема 1. Пусть функции f(х) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x)  g(x) и также непрерывны в этой точке ( последняя при g (х₀)  0 ).

Теорема 2. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Определение 5. Если функция непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что функция непрерывна на этом интервале. Если функция непрерывна в каждой точке интервала (a, b) и непрерывна на концах интервала, соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на замкнутом интервале [a, b].