6. Параметрическое задание функции

И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

1. Параметрическое задание функции. Пусть даны две функции

х = (t), y = (t) (1)

одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если x = (t) строго монотонна, то обратная к ней функция t = (х) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемой параметром: у = (Ф(х)).

В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (1).

Отметим, что функция (ф(х)) непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции.

Пример 1. Пусть x = R cos t, y = R sin t ( 0  t   ). Так как функция x=R cos t убывает при 0  t  , то данные уравнения задают параметрически функцию у от х. Если выразить t через х из первого уравнения и подставить во второе, то получим иско­мую функцию переменной х в явном виде.

Это еще легче сделать, если заметить, что х² + у² = R² (cos² t + sin² t) = R².

Отсюда у = или у = Так как функция у = R sin t неотрицательна для 0  t  , то перед радикалом выбираем знак плюс: у= . Если   t  2 , то у =

Таким образом, можно сделать вывод, что когда t изменяется от 0 до 2, то формулы x = R cos t и y = R sin t определяют две функции переменной х, графики которых образуют окружность радиуса R.

Пример 2. Пусть х = а cos t, у = b sin t (0  t  2).

Данные равенства являются параметрическими уравнениями эллипса, так как эллипс получается из окружности радиуса а сжатием ее в а/b раз вдоль оси Оу. Из примера 1 следует, что параметрическими уравнениями окружности x² + y² = a² являются уравнения x = a cos t, y = a sin t ( 0  t  2). Итак, параметрические уравнения эллипса получаются из параметрических уравнений окружности умножением правой части уравнения для ординаты у на b/а и имеют вид: x = a cos t, у = b sin t (0  t  2). Можно поступить проще. Исключая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно cos t и sin t, возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем

(x/a)² + (y/b)² = cos² t + sin² t = 1 или х²/а² + у²/b² = 1  уравнение эллипса. Параметрическое задание функции имеет особо важное значение при изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями времени t. Задав эти функции х = (t), у = (t), мы полностью определим движение точки. Для каждого промежутка времени, в котором функция (t) строго монотонна, можно, как и раньше, определить функцию у = (Ф(х)), графиком которой является кривая, описываемая за этот промежуток времени движущейся точкой. В последнем примере функции описывали движение точки по эллипсу.

2. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Предположим теперь, что функции х = (t) и y= (t) имеют производные, причем (t)  0 на некотором промежутке. Тогда производная функции, заданной параметрически, выражается формулой

(2)

Пример 1. Найти у'(х), если x = R cos t, y = R sin t ( 0  t  ).

Р е ш е н и е. Т. к. в нашем случае t = Ф(х) = arccos (x/R) ), то по формуле (2) получаем

Пусть существуют вторые производные функций и в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую производ­ную функции, заданной параметрически. Заметим, что функция , в свою очередь, задана параметрически уравнениями и х = (t). Следовательно,

(3)

Аналогично можно получить производную от у по x любого порядка.

Пример 2. Найти у(х), если x = cos t, y = sin t ( 0  t  ).

Р е ш е н и е. y(t) = cos t, у"(t)=  sin t; x'(t) =  sin t, х" (t) = cos t, поэтому по формуле (3) найдем