4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
З а м е ч а н и е 1. Данное свойство дает право при векторном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 4 объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей. Например,
.
Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения нужно изменить. Например,
З а м е ч а н и е 2. Согласно определению и свойствам 1 и 3 векторного произведения для базисных векторов получаем следующие равенства:
3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
Теорема. Если
векторы
и
заданы своими координатами:
то
векторное произведение вектора
на вектор
определяется формулой
(1)
Эту
формулу с помощью определителей второго
порядка можно записать в виде
,
а с помощью определителя третьего
порядка в виде
Пример. Даны
векторы
Найти координаты векторного произведения
Р е ш е н и е. По
формуле (1) находим
Итак,
Смешанное произведение трех векторов
1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения.
Определение.
Смешанным
произведением трех векторов
называется число, равное скалярному
произведению вектора
на векторное произведение векторов
и
,
т. е.
Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения.
Теорема 1.
Смешанное
произведение
равно объему V параллелепипеда,
построенного на векторах
,
взятому со знаком «+», если тройка
- правая, и со знаком «-», если тройка
- левая. Если же
компланарны, то
.
Другими словами:
=
Итак, если векторы
компланарны,
то
.
Верно
и обратное:
если
,
то векторы
компланарны.
Действительно, если бы векторы
были
некомпланарны, то по теореме 1 смешанное
произведение
,
что противоречит условию.
С л е д с т в и е. Из теоремы 1 следует тождество
,
(1)
т. е. знаки
и
в смешанном произведении можно менять
местами.
В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
Теорема 2. Если векторы заданы своими координатами
,
то смешанное произведение определяется формулой
=
Пример. В пространстве даны четыре точки: A (1; 1; 1), B (4; 4; 4), C (3; 5; 5), D (2; 4; 7). Найти объем тетраэдра ABCD.
Р е ш е н и е.
Как известно из элементарной геометрии,
объём V
тетраэдра
ABCD
равен одной шестой объема параллелепипеда,
построенного на векторах
;
поэтому из теоремы 1 заключаем, что V
равен 1/6 абсолютной величины смешанного
произведения
.
Найдем это смешанное произведение.
Прежде всего определим координаты
векторов
.
Имеем:
Используя
теорему 2, получаем
=
+
3
Отсюда V = (1/6) 18 = 3.