6. Общее уравнение прямой.

Теорема. В прямоуголь­ной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени

Ах + By + С = 0, (5)

и обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат урав­нением первой степени, называются линиями первого порядка. Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Уравнение вида Ах+Ву+С = 0 называется общим урав­нением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соот­ветствующем выборе коэффициентов А, В, С.

7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках». Рассмотрим три частных случая, когда уравнение Ах+Ву+С = 0 является неполным, т. е. какой-то из коэффи­циентов равен нулю.

1) С = 0; уравнение имеет вид Ах+Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2) В = 0 (А ≠ 0); уравнение имеет вид Ах+С = 0 и опре­деляет прямую, параллельную оси Оу. Это уравнение приводится к виду х = а, где а = С/А, а  величина отрезка, который отсекает прямая на оси Ох (рис. 19). В частности, если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Таким образом, уравнение х = 0 определяет ось ординат.

3

) А = 0 (В ≠ 0); уравнение имеет вид Bу+C = 0 и опреде­ляет прямую, параллельную оси Ох. Этот факт устанавливается аналогично предыдущему случаю. Если положить С/В = b, то уравнение принимает вид у = b, где b  величина отрезка, кото­рый отсекает прямая на оси Оу (рис. 20). В частности, если b = 0, то прямая совпадает с осью Ох. Таким образом, уравнение у = 0 определяет ось абсцисс.

Рис. 19 Рис. 20

Пусть теперь дано уравнение Ax+By +С = 0 при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Преобразуем его к виду

.

Вводя обозначения а =  С/А, b =  С/В, получим

. (6)

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геомет­рического построения прямой.

Пример. Прямая задана уравнением 3х  5у + 15 = 0. Со­ставить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить пря­мую.

Р е ш е н и е. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет вид

.

Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ох и Оу отрезки, величины которых соответственно равны а= 5, b = 3, и проведем прямую через точки М₁(5; 0) и М₂ (0; 3) (рис. 21).

8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Пусть дана некоторая прямая L. Проведем через началo координат прямую п, перпендикулярную данной, и назовем ее нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой нормаль пересекает прямую L (рис. 22, а). На нормали введем направление от

Рис. 21

точки О к точке N. Таким образом, нормаль станет осью. Если точки N и О совпадают, то в качестве направления нормали возьмем любое из двух возможных.

О

бозначим через  угол, на который нужно повернуть про­тив часовой стрелки ось Ох до совмещения ее положительного направления с направлением нормали, через р  длину от­резка ON.

Рис.22

Тем самым, 0 ≤  < 2π, р ≥ 0. Если точки O и N совпадают, то прямая L проходит через начало координат (рис. 22, б) и p = 0.

Уравнение данной прямой, считая известными числа  и р, имеет вид

. (7)

Уравнение (7) называется нор­мальным уравнением прямой L.

С помощью нормального урав­нения прямой можно определить расстояние от данной точки плос­кости до прямой.

Пусть L  прямая, заданная нормальным уравнением (7) и пусть М₀(х₀;у₀)  точка, не лежащая на этой прямой. Требуется определить расстояние d от точки М₀ до прямой L. Искомое расстояние определяется формулой

(8)

Отметим, что формула (8) пригодна и в том случае, когда точка М₀(х₀,у₀) лежит на прямой L, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению прямой L: В этом слу­чае по формуле (8) получаем d = 0. Из формулы (8) следует, что для вычисления расстояния d от точки М₀ до прямой L нужно в левую часть нормального уравнения прямой L поставить вместо (х, у) координаты точки М₀ и полученное число взять по модулю.

Теперь покажем, как привести общее уравнение прямой к нор­мальному виду. Пусть

Ах + Ву + С = 0 (9)

 общее уравнение некоторой прямой, а

(10)

 ее нормальное уравнение.

Так как уравнения (9) и (10) определяют одну и ту же пря­мую, то их коэффициенты пропорциональны. Умножая все члены уравнения (9) на произвольный множитель μ ≠ 0, получаем урав­нение

При соответствующем выборе μ полученное уравнение обращается в уравнение (10), т. е. выполняются равенства

. (11)

Чтобы найти множитель μ, возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим, тогда получаем Отсюда

(12)

Число μ называется нормирующим множителем. Знак норми­рующего множителя определяется с помощью третьего из равенств (11). Согласно этому равенству μС число отрицательное, если С ≠ 0. Следовательно, в формуле (12) берется знак, противопо­ложный знаку С. Если С = 0, то знак нормирующего множителя можно выбрать произвольно.

Итак, для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду надо найти значение нормирующего множителя μ, а затем все члены уравнения умножить на μ.

Пример. Даны прямая 3x  4у + 10 = 0 и точка М(4; 3). Найти расстояние d от точки М до данной прямой.

Р е ш е н и е. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Для этого найдем по формуле (12) нормирующий множитель: