3.5. Общее уравнение линии второго порядка

Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам с помощью перехода к другим прямоугольным системам координат. При этом, естественно, изменяются как координаты точек, так и уравнения кривых. Возникает задача: как, зная координаты точки в одной системе координат, найти координаты этой же точки в другой системе координат. Решить эту задачу позволяют формулы преобразования координат.

Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:

1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направление осей остается прежним;

2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.

При параллельном сдвиге осей в точку искомые формулы имеют вид:

или

а при повороте осей координат на угол :

или

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

Ax² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2Е и F  любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т. е. А²+В² +С² > 0.

1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.

Лемма. Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (1) и пусть АС  В²  0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота oceй координат уравнение (1) приводится к виду

(2)

где А', С', F'  некоторые числа; (х"; у")  координаты точки в новой системе координат.

2. Инвариантность выражения АС – В². Классификация линий второго порядка. Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (1) при параллельном переносе осей координат не меняются, но они меняются при повороте осей координат. Однако выражение AC – В² остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей т.е. не зависит от преобразования координат.

Величина АС – В² называется инвариантом общего уравнения линии второго порядка. Она имеет важное значение в исследовании линий второго порядка. В зависимости от знака величины AC  В² линии второго порядка разделяются на следующие три типа:

1) эллиптический, если AC – B² > 0;

2) гиперболический, если АС – В² < 0;

3) параболический, если АС  B² = 0.

Рассмотрим линии различных типов.

1) Э л л и п т и ч е с к и й т и п. Поскольку АС – В² > 0, то coгласно лемме, общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду (для удобства записи опускаем штрихи у коэффициентов и координат)

Ax²+ Cy²+ F = 0.

Возможны следующие случаи:

а) А > 0, С > 0 (случай А < 0, С < 0 сводится к случаю А > 0, С > 0 умножением уравнения на – 1) и F < 0. Перене­сем F в правую часть уравнения и разделим на него. Уравнение принимает вид

где a² =  F/A, b² =  F/C. Сравнивая полученное уравнение с уравнением эллипса, заключаем, что оно является каноническим уравнением эллипса.

б) А > 0, С > 0 и F > 0. Тогда, аналогично предыдущему, уравнение можно привести к виду

Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.

в) А > 0, С > 0, F = 0. Уравнение имеет вид ( a² = A, с² = С):

а² х² + с² у² = 0.

Ему удовлетворяют координаты только одной точки х = 0, у = 0. Такое уравнение назовем уравнением пары мнимых пересекающих­ся прямых.

2) Г и п е р б о л и ч е с к и й т и п. Поскольку АС – В² < 0, то согласно лемме общее уравнение линии второго порядка приводится к виду

Ах²+ Су² + F = 0.

Возможны следующие случаи:

а) А > 0, С < 0 (случай А < 0, С > 0 сводится к случаю А > 0, С < 0 умножением уравнения на –1) и F  0. Пусть, например, F < 0. Перенесем F в правую часть уравнения и раз­делим на него. Уравнение принимает вид

,

где a² = – F /A, b²= F/C. Сравнивая с уравнением гиперболы, заключаем, что полученное уравнение является каноническим уравнением гиперболы.

б) А > 0, С < 0 и F = 0. Уравнение принимает вид (a² = A, c² = – С ):

a²x² – c²y² = 0 или (ах — су) (ax + су) = 0.

Последнему уравнению удовлетворяют только координаты точек плоскости, расположенных на прямых ах  су = 0 и ах+су = 0, пересекающихся в начале координат, и, таким образом, имеем пару пересекающихся прямых.

3) П а р а б о л и ч е с к и й т и п. Если AC – В² = 0, то пово­ротом осей координат на угол , общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду

Ах² + Су² + 2Еу + 2Dx + F = 0. (3)

Здесь AС = 0 и, следовательно, один из коэффициентов А или С равен нулю. Пусть А = 0, С  0. Представим уравнение (3) в виде

, или ,

где = F  Е²/С. Перенесем начало координат параллельно оси Оу в точку (0,Е/С), т.е. перейдем к новым координатам по формулам х' = х, у' = у+Е/С. Получим уравнение Возможны следующие случаи:

а) D  0. Запишем уравнение в виде

Перенесем теперь начало координат параллельно оси Ох' в точку ( /(2D);0), т.е. перейдем к новым координатам по формулам х" = х ' + /(2D), у" = у'. Получим уравнение

С(у")² + 2Dx" = 0, или ( у")² = 2рх",

где р = D/C. Сравнивая последнее уравнение с уравнением параболы, заключаем, что оно является каноническим уравнением параболы.

б) D = 0. Уравнение имеет вид С(у')² + = 0.

Если С и имеют разные знаки, то, полагая  /C  = a² , уравнение можно записать в виде (y - a)(y + a) = 0. Это уравнение определяет пару параллельных прямых.

Если С и имеют одинаковые знаки, то уравнение принимает вид (у)² + а² = 0. Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мнимых параллельных прямых.

Наконец, если = 0, то уравнение принимает вид (у')² = 0 и определяет ось О'х'. Это уравнение можно рассматривать как предельный случай при  0, т. е. как уравнение пары совпавших прямых.

Заканчивая исследование общего уравнения линии второго рядка, сформулируем полученные результаты в виде теоремы.

Теорема. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение линии второго порядка Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0. Тогда существует такая прямоугольная система координат, в ко­торой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов: 1) = 1 (эллипс), 2) = – 1 (мни­мый эллипс); 3) a²x² + c²y² = 0 (пара мнимых пересекающихся прямых); 4) = 1 (гипербола); 5) a²x² – с²у² = 0 (пара пересе­кающихся прямых); 6) y² = 2px (парабола); 7) у²  a² = 0 (пара параллельных прямых); 8) y² + a² = 0 (пара мнимых параллельных прямых); 9) у² = 0 (пара совпавших прямых).