8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
1.
Раскрытие неопределённости вида
.
Будем
говорить, что отношение двух функций
при
есть неопределённость вида
,
если
Раскрыть
эту неопределённость – значит вычислить
предел
,
если он существует, или установить, что
он не существует. Следующая теорема
устанавливает правило для раскрытия
неопределённости вида
.
Теорема
5 (теорема
Лопиталя).
Пусть функции
f(x) и g(x) определены и дифференцируемы
в некоторой окрестности точки а, за
исключением, быть может, самой точки
а. Пусть, далее,
и
в указанной окрестности точки а. Тогда,
если существует предел отношения
производных
(конечный
или бесконечный), то существует и предел
,
причём
справедлива формула
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
З
а м е ч а н и е 1. Если производные
удовлетворяют тем же требованиям, что
и сами функции f(x)
и g(x),
то правило Лопиталя можно применить
повторно. При этом получаем
З
а м е ч а н и е 2. Теорема остаётся верной
и в случае, когда
и
.
Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.
1.
.
2.
3.
.
2.
Раскрытие неопределённости вида
.
Будем
говорить, что отношение двух функций
при x
a есть
неопределённость вида
,
если
Для
этой неопределённости справедливо
утверждение, аналогичное теореме 5, а
именно: если в формулировке теоремы
заменить требование
на условие
то теорема останется справедливой.
Рассмотрим примеры.
1.
2.
3.
3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие. Неопределённости вида 0 и можно свести к неопределённостям и . Покажем это на примерах.
Пример
1. Найти
.
Р
е ш е н и е. Имеем неопределённость вида
0
.
Но
,
и получена неопределённость вида
.
Применяя правило Лопиталя, имеем
Пример
2. Найти
Р
е ш е н и е. Имеем неопределённость вида
.
Но
=
и при том
же условии x
/2
получена неопределённость вида
.
Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим
И,
наконец, рассмотрим неопределённости
вида
Такие неопределённости имеют место при
рассмотрении функций
,
если при xa
функция f(x)
стремится соответственно к 0, 1 и ,
g(x)
– соответственно к 0,
и 0. Эти неопределённости с помощью
тождества
сводятся к неопределённости вида 0
,
которая уже рассмотрена.
Пример
3. Найти
Р
е ш е н и е. Имеем неопределённость вида
Но
и в показателе степени получена
неопределённость вида 0
,
которая нами уже рассмотрена (см. пример
1). Следовательно,
Пример
4. Найти
Р
е ш е н и е. Имеем неопределённость вида
.
Но
,
и в показателе степени получена
неопределённость вида
.
Применяя
правило Лопиталя, получаем
Следовательно,
Пример
5. Найти
Р
е ш е н и е. Имеем неопределённость вида
.
Но
и в показателе степени получена неопределённость вида . Применяя правило Лопиталя, имеем
Следовательно,
8.3. Формула тейлора
Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.