4.2. Уравнение прямой

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием двух уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определять заданием двух уравнений первой степени.

Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Oxyz и произвольная прямая L. Обозначим через ₁ и ₂ две различные плоскости, пересекающиеся по прямой L, заданные соответственно уравнениями

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0 . (1)

Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую L в том и только в том случае, когда плоскости ₁ и ₂ не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. нормальные векторы этих плоскостей  = {А₁; В₁; С₁} и  = {А₂; В₂; С₂} не коллинеарны (коэффициенты А₁; В₁; С₁ не пропорциональны коэффициентам А₂; В₂; С₂).

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой.

1. Канонические уравнения прямой. Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный ей (рис. 32). Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(x₀; y₀; z₀) и имеющей данный направляющий вектор.

Пусть М(x; y; z) – произвольная точка. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор = {x – x₀; y – y₀; z – z₀} коллинеарен направляющему вектору = {l; m; n}, т.е. когда координаты вектора пропорциональны координатам вектора :

. (2)

Рис. 32 Рис. 33

Уравнения (2) и является искомыми. Они называются каноническими уравнениями прямой.

Для того чтобы составить канонические уравнения (2), если прямая L задана уравнениями (1), необходимо:

1. найти какую-нибудь точку М₀(x₀; y₀; z₀)  L; для этого следует задать числовое значение одной из неизвестных координат x₀, y₀, z₀ и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (1), после этого две другие координаты определяются в результате совместного решения уравнений (1);

2. найти направляющий вектор = {l; m; n}. Так как прямая L определена пересечением плоскостей ₁ и ₂ , то она перпендикулярна каждому из нормальных векторов  и  (рис. 33). Поэтому в качестве вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам и , например их векторное произведение =  . Так как координаты векторов  и  известны:  = {А₁; В₁; С₁} и  = {А₂; В₂; С₂}, то найдем координаты вектора :

.

Пример 1. Найти канонические уравнения прямой

Р е ш е н и е. Полагая, например, х₀ = 1, из системы

получаем y₀ = 2, z₀ = 1. Таким образом, точка М₀(1; 2; 1) прямой найдена. Теперь определим направляющий вектор . Имеем:  = {3; 2; 4} и = {2; 1; 3}, отсюда =  = {10; 17; 1}, т.е. l = – 10 , m = 17, n = –1. Подставляя найденные значения х₀ , y₀ , z₀ и l, m, n в равенства (2), получаем канонические уравнения данной прямой:

.

2. Параметрические уравнения прямой. Иногда прямую полезно задавать не в виде канонических уравнений (2), а иначе. Пусть прямая L задана уравнениями (2). Обозначим через t каждое из равных отношений. Тогда , откуда

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt. (3)

Равенства (3) называются параметрическими уравнениями прямой L, проходящей через точку М₀(x₀; y₀; z₀) и имеющей направляющий вектор = {l; m; n}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр (  t  ); x, y, z – как функции от t. При изменении t величины x, y, z изменяются так, что, точка M(x; y; z) движется по данной прямой.

Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом деле, пусть непараллельные плоскость  и прямая L заданы соответственно уравнениями

Ax +By + Cz + D = 0 и

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt.

Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для x, y, z из уравнений прямой L в уравнение плоскости . В результате преобразований получаем , причем знаменатель дроби не равен нулю, так как плоскость не параллельна прямой. Подставляя найденное значение t в уравнения прямой, находим искомую точку М(x; y; z) пересечения прямой L с плоскостью .

3. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые L₁ и L₂, заданные соответственно уравнениями

При любом расположении прямых L₁ и L₂ в пространстве один из двух углов между ними равен углу  между их направляющими векторами = {l₁; m₁; n₁} и ={l₂; m₂; n₂}, а второй угол равен 180 . Угол  вычисляется по следующей формуле: