4.3. Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. Геометрическое исследование поверхностей второго порядка производится по заданным уравнениям методом параллельных сечений.
1. Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Метод параллельных сечений позволяет изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 34). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a = b = c эллипсоид является сферой.
Рис. 34
2. Однополостный гиперболоид. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(2)
У
равнение
(2) называется каноническим
уравнением однополостного гиперболоида.
Метод
параллельных сечений позволяет изобразить
однополостный гиперболоид в виде
бесконечной трубки, бесконечно
расширяющейся по мере удаления от
плоскости Oxy
(рис. 35).
Величины a,
b,
c
называются полуосями
однополостного гиперболоида.
Рис. 35
3. Двуполостный гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
.
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Метод параллельных сечений позволяет изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 36). Величины a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
4. Эллиптический параболоид. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
,
(4)
где p 0, q 0.
Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Метод параллельных сечений позволяет изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечной выпуклой чаши (рис. 37).
5. Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
,
(5)
где p 0, q 0.
Уравнение (5) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида. Метод параллельных сечений позволяет изобразить гиперболический параболоид в виде седлообразной поверхности (рис. 38).
Рис. 36
Рис. 37
6. Конус второго порядка. Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
,
(6)
Уравнение (6) называется каноническим уравнением конуса второго порядка. Метод параллельных сечений позволяет изобразить конус в виде поверхности, изображенной на рис. 39.
Р
ис.
38
7. Цилиндрическая поверхность. Пусть в плоскости Oxy лежит некоторая линия L. Проведем через каждую точку линии L прямую, параллельную оси Oz. Множество этих прямых образует некоторую поверхность S, которая называется цилиндрической. Указанные прямые называются образующими поверхности S, а линия L – ее направляющей. Аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям Ox и Oy.
Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, не содержит координаты z и совпадает с уравнением направляющей. Например, если направляющей является эллипс
(7)
то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис. 40), а (7) – ее уравнением.
Рис.
39 Рис. 40