- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
Теорема. Если векторы и заданы своими координатами: то их скалярное произведение определяется формулой
Из теоремы вытекают два важных следствия.
С л е д с т в и е 1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство
С л е д с т в и е 2. Угол между векторами и определяется равенством
(1)
Пример. Даны три точки А (1; 1; 1), В (2; 2; 1) и С (2; 1; 2). Найти угол = .
Р е ш е н и е. Применяя теорему 2 ( п. 2.3 ), найдем Отсюда на основании формулы (1) получаем
Следовательно, = 60.
Векторное произведение
1. Определение векторного произведения. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Например, в записи ( ) вектор считается первым, вторым, третьим; в записи ( ) вектор первым, вторым, третьим.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется тремя условиями:
длина вектора равна где - угол между векторами и ;
вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;
векторы , , образуют правую тройку векторов (рис. 11).
Заметим, что условия 2) и 3) относятся к случаю, когда т. е. вектор . Если же (т.е. либо, по крайней мере, один из векторов и нулевой, либо ), то векторное произведение
определяется только условием 1): в этом случае .
Р ис. 11
Понятие векторного произведения имеет свой источник в механике. Пусть в точке М твердого тела приложена сила и О – некоторая точка пространства. Как известно из механики, моментом силы относительно точки О (точка приложения момента) называется вектор , который: 1) имеет длину, равную , где угол между векторами ; 2) перпендикулярен плоскости , проходящей через точки О, М, К; 3) направлен так, что из его конца сила представляется вращающей плоскость вокруг точки О против часовой стрелки (рис. 12).
Из рисунка, на котором , видно, что представляет собой векторное произведение
Рис. 12
2 . Основные свойства векторного произведения.
1. , если и - коллинеарные векторы.
2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов и равна площади S параллелограмма, построенного на этих векторах (см. рис. 11).
3. (свойство антиперестановочности сомножителей).