4. Аналитическая геометрия в пространстве

4.1. Уравнение плоскости

Покажем, что поверхности первого порядка  плоскости и только плоскости, и рассмотрим два вида уравнений плоскости.

1 . Общее уравнение плоскости. Пусть заданы: прямоугольная система координат Oxyz, произвольная плоскость ; точка М₀ (x₀; y₀; z₀)  ; вектор = {А; В; С}, перпендикулярный плоскости ; где А, В, С – его координаты (рис. 30).

Рис. 30

Рассмотрим произвольную точку М (x; y; z). Точка М лежит на плоскости  только тогда, когда векторы и взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора равны х  х₀ , у  у₀ , z  z₀, то в силу условия перпендикулярности двух векторов получаем, что точка М(x; y; z ) лежит на плоскости  только тогда, когда

A(x  x₀) + B(y  y₀)+ C(z  z₀) = 0. (1)

Это и есть искомое уравнение плоскости , так как ему удовлетворяют координаты x, y, z любой точки М, лежащей на плоскости , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой плоскости.

Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду

Ax + By + Cz + (– Ax₀ – By₀ – Cz₀) = 0.

Далее, обозначая число – Ax₀ – By₀ – Cz₀ через D, получаем

Ax+By+cz+d = 0. (2)

Уравнение (2) называется общим уравнение плоскости. Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как определяется уравнением первой степени. Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость. Вектор = {А; В; С}, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (1; 1; 1) перпендикулярно вектору = {2; 2; 3}.

Р е ш е н и е. По формуле (1) искомое уравнение таково:

2 (х – 1) + 2(у – 1) + 3(z – 1) = 0 или 2х + 2у + 3z – 7 = 0.

Теорема 1. Если два уравнения A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 и A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0 определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны.

2. Угол между двумя плоскостями. Рассмотрим две плоскости ₁ и ₂, заданные соответственно уравнениями

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0.

При любом расположении плоскостей ₁ и ₂ в пространстве один из углов  между ними равен углу между их нормальными векторами = {А₁; В₁; С₁} и  = {А₂; В₂; С₂} и вычисляется по следующей формуле:

. (3)

Второй угол равен 180 – .

3. Условие параллельности плоскостей. Если плоскости ₁ и ₂ параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы  и  , и наоборот. Но тогда

. (4)

Условие (4) является условием параллельности плоскостей ₁ и ₂.

4. Условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости ₁ и ₂ взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы  и также перпендикулярны друг другу ( = /2), и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей ₁ и ₂ :

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольная плоскость  (рис. 31). Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости . Будем называть ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересекает плоскость . На нормали введем направление от точки О к точке Р. Если точки О и Р

Р ис. 31

совпадают, то возьмем любое из двух направлений на нормали. Пусть     углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат; р – длина отрезка ОР.

Запишем уравнение данной плоскости , считая известными числа cos  cos  cos  и р.

Точка М (x; y; z) лежит на плоскости  тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

x cos  + y cos  + z cos   р = 0, (5)

которое и является искомым уравнением данной плоскости. Уравнение плоскости в виде (5) называется нормальным.

Теорема 2. Если точка М* имеет координаты x*; y*; z*, а плоскость задана нормальным уравнением (5), то расстояние d от точки М до плоскости определяется по формуле

d = |x* cos  + y* cos  + z* cos  - р| .

Покажем теперь, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть

Ax + By + Cz + D = 0 (6)

 общее уравнение некоторой плоскости, а

x cos  + y cos  + z cos   р = 0 (7)

 ее нормальное уравнение. Так как уравнения (6) и (7) определяют одну и ту же плоскость, то по теореме 1 коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что, умножая все члены (6) на некоторый множитель , получаем уравнение Ax + By + Cz + D = 0, совпадающее с уравнением (7). Следовательно, .

Число , с помощью которого общее уравнение плоскости преобразуется в нормальное, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак  определяется равенством D = р, т.е.  имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения (6).

Если в уравнении (6) D = 0, то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.

Пример. Даны плоскость x + 2y + 2z – 8 = 0 и точка М(1; 1; 1). Найти расстояние d от точки М до данной плоскости.

Р е ш е н и е. Чтобы использовать теорему 2, надо прежде всего привести данное уравнение к нормальному виду. Для этого найдем нормирующий множитель .

Умножая данное уравнение на , получаем искомое нормальное уравнение плоскости .

Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М, имеем

.