- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при выполняется неравенство При этом пишут
(1)
Символическая запись определения бесконечно большой последовательности: .
Если бесконечно большая последовательность , начиная с некоторого номера, принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут
(2)
или соответственно
(3)
Таким образом, из (2), так же как и из (3), следует (1). Пример последовательности показывает, что может иметь место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2), ни (3).
Теорема 8. Если бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность бесконечно малая, и
обратно, если бесконечно малая последовательность и , то последовательность бесконечно большая.
Теорема 9. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.
Теорема 10. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
5.3. Монотонные последовательности
1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
Определение. Последовательность называется возрастающей, если для всех n; неубывающей, если для всех n; убывающей, если для всех n; невозрастающей, если для всех n.
Все такие последовательности объединяются общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
1. Последовательность 1, 1/2, 1/3, . . , 1/n, . . . убывающая и ограниченная.
2. Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, . . . 1/n, 1/n, . . . невозрастающая и ограниченная.
3. Последовательность 1, 2, 3, . . . n, . . . возрастающая и неограниченная.
4. Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . n, n, . . . неубывающая и неограниченная.
5. Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, . . ., n/(n+1), . . . возрастающая и ограниченная.
Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны: неубывающая последовательности – снизу ( для всех n),
невозрастающие – сверху ( для всех n). Оказывается, что если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится. Немонотонные последовательности этим свойством не обладают. Например, немонотонная последовательность ограничена, но не сходится (см. замечание к теореме 2 из п. 5.2). Имеет место следующая основная теорема о монотонных последовательностях.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
З а м е ч а н и е. Ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости. В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу сформулированной теоремы она сходится; если же монотонная последовательность сходится, то по теореме 2 из п. 5.2 она ограничена.
2. Число е. Рассмотрим последовательность с общим членом : .
Докажем, что она сходится. Для этого достаточно доказать, что последовательность - возрастающая и ограничена сверху. Применив формулу бинома Ньютона, получим
Представим это выражение в следующей форме:
(1)
Аналогичным образом представим
Заметим теперь, что < при 0 < k < n. Поэтому каждое слагаемое в выражении для больше соответствующего слагаемого в выражении для и, кроме того, у по сравнению с добавляется еще одно положительное слагаемое. Следовательно, < , т.е. последовательность возрастающая.
Для доказательства ограниченности сверху данной
последовательности заметим, что каждое выражение в круглых скобках в соотношении (1) меньше единицы. Учитывая также, что < при n > 2, получаем
< <
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, придем к неравенству < < 3.
Таким образом, доказано, что последовательность возрастающая и ограничена сверху. По теореме она имеет предел. Этот предел обозначают буквой е. Итак, по определению,
Отметим, что число е играет большую роль во многих вопросах математики. Оно, в частности, является основанием натуральных логарифмов. Отметим, что так как < 3 и из (1) непосредственно очевидно, что 2 < , то число е заключено в пределах . Доказано, что число е иррациональное.
(29)
В средней школе начато изучение важнейшего понятия математического анализа – понятие функции. В этом разделе будет введено понятие предела функции, а также понятие непрерывности функции.