- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова
- •1. Элементы высшей алгебры
- •1.1. Матрицы
- •1.2. Определители
- •1.3. Системы трех уравнений первой
- •Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы Рассмотрим снова систему уравнений
- •1.5. Метод гаусса
- •Векторная алгебра
- •2.1. Скалярные и векторные величины
- •Проекция
- •2.3. Линейные операции над векторами
- •3. Основные свойства линейных операций.
- •4. Теоремы о проекциях векторов.
- •Скалярное произведение векторов
- •1. Определение и основные свойства скалярного произведения.
- •2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •Векторное произведение
- •2 . Основные свойства векторного произведения.
- •4. (Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
- •5. (Свойство распределительности относительно суммы векторов).
- •3. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •Смешанное произведение трех векторов
- •В силу тождества (1) смешанное произведение можно обозначить более простым символом .
- •2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •Расстояние между двумя точками.
- •Площадь треугольника.
- •3.2. Полярные координаты
- •3.3. Линии первого порядка
- •6. Общее уравнение прямой.
- •Умножая данное уравнение на μ, получаем нормальное уравнение
- •3.4. Линии второго порядка
- •1. Эллипс.
- •3. Парабола.
- •3.5. Общее уравнение линии второго порядка
- •1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду.
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Уравнение плоскости
- •Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
- •4.2. Уравнение прямой
- •4.3. Поверхности второго порядка
- •5. Предел последовательности
- •5.1. Числовые последовательности
- •2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •5.2. Сходящиеся последовательности
- •1. Понятие сходящейся последовательности.
- •З а м е ч а н и е. Неравенство (1) равносильно неравенствам
- •2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Нетрудно видеть, что для того, чтобы последовательность имела предел а, необходимо и достаточно, чтобы , где есть бесконечно малая.
- •5.3. Монотонные последовательности
- •1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
- •6.1. Классификация функций
- •6.2. Предел функции
- •6.3. Теоремы о пределах функции
- •6.4. Два замечательных предела
- •2. Второй замечательный предел
- •6.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Бесконечно малые функции.
- •2. Бесконечно большие функции.
- •6.6. Сравнение бесконечно малых
- •6.7. Неопределенные выражения
- •6.8. Непрерывные функции
- •6.9. Классификация точек разрыва
- •Определение и классификация точек разрыва функции.
- •6.10. Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцирование
- •7.1. Производная функции
- •4. Правая и левая производные.
- •7.2. Дифференцируемость функции
- •1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
- •2. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •7.3. Дифференциал функции
- •Правила дифференцирования.
- •1. Правила дифференцирования.
- •3. Производные тригонометрических функций.
- •6. Дифференцирование сложной функции.
- •7.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •2. Формулы для n-х производных некоторых функций.
- •4. Дифференциалы высших порядков.
- •Параметрическое задание функции
- •Применение дифференциального
- •8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя.
- •8.3. Формула тейлора
- •Формула Тейлора.
- •3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •8.4. Исследование поведения функций
- •1. Признак монотонности функции.
- •2. Отыскание точек локального экстремума функции.
- •Ответы к п.П. 2.1 2.4
- •Задачи к п. 2.5
- •Ответы к п. 2.5
- •Задачи к п. 2.6
- •Ответы к п. 2.6.
- •Задачи к п.П. 3.1 – 3.3
- •Ответы к п.П. 3.1 – 3.3
- •Задачи к п.П. 3.4 – 3.5
- •Ответы к п.П. 3.4 – 3.5
- •Задачи к п.П. 4.1 4.2
- •Задачи к п. 4.3
- •Ответы к п. 4.3
- •Задачи к п.П. 5.1 6.4
- •Ответы к п.П. 5.1 6.4
- •Задачи к п.П. 6.5 6.9
- •Ответы к п.П. 6.5 6.9
- •Задачи к п.П. 7.1 – 7.6
- •Ответы к п.П. 7.1 – 7.6
- •Задачи к п.П. 8.1 – 8.3
- •Ответы к п.П. 8.1 – 8.3
- •Задачи к п. 8.4
- •Ответы к п. 8.4
- •Вопросы к экзамену
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •7. Дифференцирование ……..…………………………..125
- •8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Оглавление
1. Элементы высшей алгебры …………………………......3
Матрицы …………………………………………....…3
Определители ……………………………………...….8
Исследование систем трех уравнений первой степени с тремя неизвестными ……………………...……13
Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы……………………………….15
Метод Гаусса ………………………………………..18
2. Векторная алгебра …………………….………....………20
Скалярные и векторные величины ……………..…20
Проекция ….………………………………………....22
Линейные операции над векторами и их основные свойства .................................................................…..25
Скалярное произведение векторов …………..…….29
Векторное произведение ………………..………….32
Смешанное произведение трех векторов ……..…..37
3. Аналитическая геометрия на плоскости ………....40
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости …………………………………………………..40
Полярные координаты …………………………......41
Линии первого порядка ………………………….....44
Линии второго порядка ………………………….....55
Общее уравнение линии второго порядка ……...…65
4. Аналитическая геометрия в пространстве …...…..71
Уравнение плоскости ……………………...………..71
Уравнение прямой ……………………………..........76
Поверхности второго порядка….…………………...81
Предел последовательности …..……………………..86
Числовые последовательности ……………………..86
Сходящиеся последовательности….……………….89
Монотонные последовательности.…………………94
6. Функции одной переменной ..…………………….....98
Классификация функций …………………………….99
Предел функции ……………………………………100
Теоремы о пределах функций ………………........ 107
Два замечательных предела..………………………108
Бесконечно малые и бесконечно большие функции ………………………….………………………………….110
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций ………………………………………….……….113
Неопределенные выражения…….………………...117
Непрерывные функции …………………………... 118
Классификация точек разрыва..………………….. 121
Основные свойства непрерывных функций ……..123
7. Дифференцирование ……..…………………………..125
Производная функции ………………………..........125
Дифференцируемость функции …………………. 129
Дифференциал функции …………………………..130
Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций………………134
Производные и дифференциалы высших порядков …………………………………….............................143
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование …………………………….……… 147
8. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций………...……………………….…..150
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления………………………………………………. 150
8.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
.……………………………………………………..155
8.3. Формула Тейлора …………………..………...…….160
8.4. Исследование поведения функций и построение графиков. …………………………………………………165
Задачи ……………………………...……............……………..183
Вопросы к экзамену …………………….....……..…………233
Рекомендуемая литература ……...……………………....…236
Учебное пособие
«Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа»
для студентов специальностей 130400 - “Ракетные двигатели”, 100700 - “Промышленная теплоэнергетика”, 120100 - “Технология машиностроения”, 150201 - “Машины и технология обработки металлов давлением” очной формы обучения
Бырдин Аркадий Петрович
Заварзин Николай Владимирович
Сидоренко Александр Алексеевич
Цуканова Людмила Петровна
Компьютерная вёрстка А.А. Сидоренко
ЛР № 066815 от 25.08.99. Подписано к изданию 20.02.2006.
Уч. изд. л. 15. “С”
Издательство
Воронежского государственного технического университета