Учебное пособие 553

определения функции – совокупность точек, лежащих внутри круга радиуса R = 3 с центром в начале координат.

Линией уровня функции z = f (x, y) называется геометрическое место точек плоскости xOy, для которых данная функция имеет одно и тоже значение: уравнение линии уровня есть f (x, y) = с.

2. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных

Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.

Для функции z = f (x, y) по определению имеем:

производная по x),

производная по y).

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другой аргумент постоянным.

Полный дифференциал функции z = f (x, y) вычисляется по формуле

dz = xz dx yz dy .

Функция, имеющая полный дифференциал, называется

дифференцируемой.

2

П р и м е р 2. Найти частные производные функции z x2 2xy y3 .

Решение: Считая y постоянной и дифференцируя z как функцию x, получаем частную производную по x:

Аналогично, считая x постоянной и дифференцируя z как функцию y, получаем частную производную по y:

Функция двух переменных называется неявной, если она задана уравнением F (x , y, z) = 0, не разрешенным относительно z.

Производные неявной функции находятся по формулам:

(меньше) всех других значений, принимаемых ею в точках, достаточно близких к точке M0 (x0, y0) и отличных от нее.

Максимум или минимум функции называется ее экстремум. Точка, в которой достигается экстремум,

называется точкой экстремума.

Экстремум функции может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются критическими. Для функции z = f (x, y) критические точки находятся из системы уравнений:

3

fx (x, y) 0,f y (x, y) 0.

Условия являются необходимыми условиями

экстремума. Достаточные условия экстремума выражаются с помощью определителя

BA CB AC B 2 ,

где

А = f”xx(x0 , y0), B = f”xy (x0 , y0), C = f”yy(x0 , y0),

экстремума функции остается открытым (требуется дальнейшее исследование функции).

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 + 9xy.

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

f’x( x, y) = 3x2 + 9y; f’y ( x, y) = 3y2 + 9x;

f”xx ( x, y) = 6x; f”xy ( x, y) = 9; f”yy ( x, y) = 6y.

Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек:

3x 2 9y 0,

3y 2 9x 0.

Решая систему находим две критические точки

М1 (0, 0), М2 ( –3, –3).

4

Вычисляем значения частных производных второго порядка в этих точках:

А1 = fxx ( 0, 0) = 0, B1 = fxy ( 0, 0) = 9, C1 = fyy ( 0, 0) = 0,

A2 = fxx (–3, –3) = –18, B2 = fxy (–3, –3) = 9, C2 = fyy (–3,–3) = – 18.

Затем находим определитель:

1 А1С1 В12 0 0 92 81;

2 А2С2 В22 ( 18) ( 18) 92 243.

Всилу достаточных условий заключаем, что в точке М1 нет

5. Производная в данном направлении. Градиент функции.

где – угол, образованный вектором l с осью Оx. Градиентом функции z f (x, y) в точке M (x, y)

называется вектор с началом в точке М, имеющим своими координатами частные производные функции z:

5

gradz xz i yz j.

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста

6. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть дана сложная функция z = f (u,v), u =u (x, у) , v =v (x, у) и пусть все эти функции дифференцируемы. Найдем полный дифференциал сложной функции. Имеем :

Таким образом, dz uz du vz dv .

То есть формула для дифференциала первого порядка такая же, как и для случая, когда u и v независимые переменные.

Следовательно, форма записи дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями. Это свойство называется инвариантностью.

6

Ограничимся только случаем линейной зависимости. Так как точки (х1 ; у1), (х2 ; у2),….,( хn ; уn ) не лежат точно на прямой, а лишь вблизи нее, то формула (1) является приближенной. Поэтому, подставляя значения координат точек в выражение у – (ах+b), получаем равенства

у1 – (ах1 + b ) = δ1, у2 – (ах2 + b ) = δ2 , … , уn – (axn + b) =

δn,

где δ1, δ2,…., δn – некоторые числа, которые назовем погрешностями.

Поставим задачу подобрать коэффициенты а и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньше по абсолютной величине. Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. Рассмотрим сумму квадратов погрешностей.

Здесь хi и yi – заданные числа, а коэффициенты а и b – неизвестные числа, подлежащие определению, исходя из условий минимума S(a, b), т.е. S(a, b) можно рассматривать как функцию двух переменных a и b и исследовать ее на экстремум.

Таким образом, задача свелась к нахождению значений а и b, при которых функция S(a, b) имеет минимум. Имеем

Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

8

Система (2) называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из этой системы находим числа a и b и затем, подставляя их в уравнение (1) , получаем уравнение искомой прямой.

Тот факт, что функция S(a,b) в найденной точке М(a; b) имеет минимум, легко устанавливается с помощью частных производных второго порядка. Имеем

8. Индивидуальные задания для контрольной работы Вариант 1

9