Учебное пособие 553
.pdf
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2-2y2+4xy-6x-1 в области D: x+y = 3, y = 0, x = 0.
Вариант 10
1. |
Найти и изобразить на чертеже область определения |
|||||
|
функций а) z = |
2x 2 - y2 ; |
б) z = arcsin |
|
x |
+ arcsin(1-y). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
y 2 |
||
2. |
Вычислить приближенно |
10 |
|
. |
||
(2,98)3 (5,03)2 |
||||||
3. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
|||||
|
функции z = ln( |
xy -1). |
|
|
|
|
4. |
Вычислить значение производной сложной функции |
|||||
|
u = ln(e-x+ey), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух |
|||||
знаков после запятой. |
|
|
|
|
||
5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: xy = z2-1, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e - cos(x+ay)
указанному уравнению a2 2u 2u .
x2 y2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+y2 _ z2-2xy+2x = 0, M0(1,1,1);
б) S: 3x2-11y2+3z2+5 = 0, M0(1,1,1).
20
8. Определить градиент и производную заданной функции
z= x2+y2 в т. M0(6,8) в направлении линии x2+y2 = 100 в сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 6(x-y)-3x2-3y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z= x2+2xy-10 в области D: y = 0, y = x2-4.
Вариант 11
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
функций а) z = ln(y2-x2); б) z = |
y - 2x |
2 |
. |
|
|
||
y |
|
||
|
|
|
2.Вычислить приближенно (3,02)3 5 0,97 .
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y4x3).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = ey-2x-1, где x = cos t, y = sin t при t = 2 , с точностью до
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2-2y2+3z2-yz+y = 2, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = exy
указанному уравнению |
x2 |
2u |
2xy |
2u |
y2 |
2u |
2xy 0 . |
x2 |
x y |
y2 |
21
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: z = x2+y2+2x-2xy-y, M0(-1,-1,-1); б) S: x2+y2+2z2 = 10, M0(1,1,2).
8.Определить градиент и производную заданной функции
zarctg xy в т. M0( 12 , 
23 ) в направлении линии x2+y2 = 2x
всторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = x2+xy+y2-6x-9y.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
|
z = xy-2x-y в области D: y = 0, y = 4, |
x = 0, x = 3. |
|
1. |
Вариант 12 |
|
|
Найти и изобразить на чертеже область определения |
|||
|
функций а)z = ln(9-x2-y2); |
б) z = arcsin(x+y). |
|
2. |
Вычислить приближенно ln( |
4,02 – 3 |
0,97 ). |
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2xy + ctg yx2 .
4.Вычислить значение производной сложной функции u =
arcsin |
x |
, где x = sin t, |
y = cos t при t = π, с точностью |
|
y |
||||
|
|
|
до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
22
z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2+2xz = 5, в данной точке M0 (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. |
Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctg |
x y |
||
|
||||
|
|
|
1 xy |
|
|
указанному уравнению |
2u |
0 . |
|
|
x y |
|||
|
|
|
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: z = y2-x2+2xy-3y, M0(1,-1,1); б) S: x2+y2-4z2 = 1, M0(1,2,-1).
8.Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M0(1,-1) в направлении линии y = -x в сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = (x-2)2+2y2-10.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 0,5x2-xy в области D: y = 8, y = 2x2.
Вариант 13
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = 3 - x 2 - y2 ; б) z = ln(4+4x-y2).
2.Вычислить приближенно ( sin1,56)(cos1,58).
3.Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = 2- ln xy .
23
4. Вычислить значение производной сложной функции
u = arccos(2x / y), где x = sin t, y = cos t при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции |
|
|
|
z = z(x,y) , заданной неявно: xcos y + ycos z + zcos x = |
|
, в |
|
|
|
2 |
|
данной точке M0 (0, , π) с точностью до двух знаков после |
|||
2 |
|
|
|
запятой. |
|
|
|
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция |
|
|
|
u = ln(x2+y2+2x+1) указанному уравнению 2u |
2u 0 . |
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0, y0, z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: z = x2-y2-2xy-x-2y, M0(-1,1,1); б) S: x2-5y+z2 = 0, M0(1,2,-3).
8.Определить градиент и производную заданной функции
z = arctg xy в т. M0(1,1) в направлении линии x2+ y2 = 2x в
сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = (x-5)2+y2+1
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2+3y2-2x-2y+2 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.
24
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
1. |
Найти и изобразить на чертеже область определения |
||||
|
функций а)z = 1- x - y ; |
б) z = arcsin3xy. |
|||
2. |
Вычислить приближенно 3,1+4,2- (3,1)2 (4,2)2 . |
||||
3. |
Найти частные производные и полный дифференциал |
||||
|
функции z = cos (x- xy3 |
). |
|||
4. |
Вычислить значение производной сложной функции |
||||
u = |
|
x2 |
|
, где x = 1-2t, y = arctg t при t = 0, с точностью до |
|
|
y 1 |
||||
|
|
|
|
||
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: 3x2 y2+2xyz2-2x3z+4y3z = 4, в
данной точке M0 (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция
u = x 2 y 2 |
z 2 указанному |
уравнению |
|||
|
2 |
u |
2 |
2 |
0 . |
|
u |
|
|
u |
|
|
x |
y |
|
z |
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2-2y2+z2+xz-4y = 13, M0(3,1,2);
б) S: x2-7y+z2 = 4, M0(3,2,3).
25
8. Определить градиент и производную заданной функции
z = xey в т. M0(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = x3+y3-3xy.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 |
2 |
|
|
9 |
2 |
|
z = 2x |
+ 3y |
-1 в области D: y = |
9 - |
4 x |
|
, y = 0. |
Вариант 15
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = arccos(x+2y); б) z 2x x2 y 2 .
2.Вычислить приближенно 3,034+1,985+15.
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z sin x y3 xy .
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = xy , где x = et, y = 2 - e2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
5.Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2-2y2+z2-4x+2z+2 = 0, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e–(x+3y) sin(x+3y) указанному уравнению
26
x2 2u 2xy 2u y2 2u 0 .
x2 x y y2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: 4y2-z2+3z+4xy-xz = 9, M0(1,-2,1); б) S: x2-4y2+z2-4 = 0, M0(-2,1,2).
8. Определить градиент и производную заданной функции
z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2) к т.M0.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x2-4y2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2-2xy-y2 + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.
Вариант 16 |
|
|
|||
1. Найти и изобразить |
|
на |
чертеже |
область определения |
|
|
x |
|
|
|
2 2 |
функций а) z = arcsin |
|
; |
б) z = |
x y |
ln(y -x ). |
y |
|||||
2.Вычислить приближенно 2,01 · 1,03 / ((2,01)4+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos(x-2y2),
4.Вычислить значение производной сложной функции
27
-x |
|
-2y |
2 |
|
t3 |
|
u = ln(e |
+e |
|
) где x = t , |
y |
|
при t = 1, с точностью до двух |
|
3 |
|||||
знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M0 (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
y
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xe x
указанному уравнению x2 2u 2xy 2u y2 2u 0 .
x2 x y y2
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: z = x2+y2-3xy-x+y+2, M0(2,1,0); б) S: x2+y2-z-6 = 0, M0(2,1,-1).
8. Определить градиент и производную заданной функции
z arctg xy в т. M0( 12 , 
23 ) в направлении линии x2+ y2+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.
9. |
Исследовать на экстремум функцию z = x y –x2-y+6x+3. |
10. |
Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
z = 3x2+3y2-x-y+1 в области D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.
28
Вариант 17
1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = ln(x2-y2); б) z = arcsin xy .
2. Вычислить приближенно (2- 0,97 )3,02.
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 5xy2+ln xy2.
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = x y2 |
3 , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до |
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2-2xz = 2, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = arctg xy
указанному уравнению |
2u |
|
2u |
0 . |
|
x2 |
y 2 |
||||
|
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: 2x2-y2+2z2+xz+xy = 3, M0(1,2,1,); б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(2,-1,1).
8.Определить градиент и производную заданной функции
29