Учебное пособие 553

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2.Вычислить приближенно cos 61 sin 47 .

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y2-e-x).

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = ex-2y, где x sin t , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x3+y3+z3-3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u xy

указанному уравнению x2 2u 2xy 2u y2 2u 0 .

x2 x y y2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+6z-4x+8 = 0, M0(2,1,-1); б) S: 4x2-9y2-9z2-36 = 0, M0(3,0,0).

8.Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x+y) в т. M0(1,3) в направлении линии y2 = 9x в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию

zy x 2y 2 x 14y .

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y - xy в области D: y = x,y = 4, x = 0.

10

Вариант 2

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2+y2).

4.Вычислить значение производной сложной функции

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+z2-4y2 = -2xy, M0(-2,1,2); б) S: x2+y2-z = 6, M0(1,-1,-1).

8.Определить градиент и производную заданной функции z = 5x2-3x-y-1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к т. N(5,5).

9.Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy-x-2y в области D: y = x,y = 0 , x = 3.

11

точке M0 (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+3z-xy = 7, M0(1,2,1); б) S: 4x2-9y2 = 36, M0(-3,0,0).

8.Определить градиент и производную заданной функции z =

x2+y2 в т. M0(6,-8) в направлении линии y = 92 x2 в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x2-xy-2y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2+8y+2xy-4x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 1.

12

Вариант 4

1.Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = ln(4-x2-y2); б) z = y + arcsin(x+2).

2.Вычислить приближенно cos59°sin32°.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x-y2).

4.Вычислить значение производной сложной функции

до двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez+x+2y+z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой

6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy

указанному уравнению y 2u (1 y ln x) u .

x y x

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2+6z+4x = 8, M0(-1,1,2); б) S: x2-y+z2-6 = 0, M0(1,-1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( x x y ) в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x2-xy-y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 5x2+y2-3xy в области D: y = 0, y = 1, x = 0, x = 1.

13

Вариант 5

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2. Вычислить приближенно arсtg 1,042 .

0,98

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos(x3-2xy)

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = x2ey, где x = cos t, y = sin t, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-z-4 = 0, в данной точке

M0 (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция

u = xy/(x+y) указанному уравнению x ux y uy 2u .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

8.Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию

z= x3+y2-6xy-39x+18y+20.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2+2xy-y2-4x в области D: x-y+1 = 0, y = 0, x = 3.

14

Вариант 6

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

2.Вычислить приближенно (2,05)2/((2,05)2+(3,01)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал

функции z = cos 2x 2 y2 .

4.Вычислить значение производной сложной функции u = ln(ex+ey) где x = t2, y = t3 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: z3+3xyz+3y = z, в данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = exy

указанному уравнению x2 2u y2 2u 0 .

x2 y 2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2+z2-6y+4z+4 = 0, M0(2,1,-1); б) S: x2+z2-5y2 = 0, M0(-1,1,3).

15

8.Определить градиент и производную заданной функции z = x2+y2+xy в т. M0(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в

сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2x3+2y3-6xy+5.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2+y2-2x-2y+8 в области D: y+x-1 = 0, y = 0, x = 0.

Вариант 7

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = arccos(x + y); б) z = 2x 3y 1- x - y .

2.Вычислить приближенно 0,97 1,05.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x3y).

4.Вычислить значение производной сложной функции u = x y, где x = et , y = lnt при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y), заданной неявно: cos2 x + cos2y + cos2z = 1,5 в

данной точке M0 ( 4 , 34 , 4 ) с точностью до двух знаков после

запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = sin2(x-ay)

указанному уравнению a2 2u 2u .

x2 y2

16

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+z2-5yz+3y = 46, M0(1,2,-3);

б) S: 3x2+y2 = 9, M0( 13 ,2 2,1).

8.Определить градиент и производную заданной функции

z = xey в т. M0(2,2) в направлении линии xy = 4 в сторону

возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 3x3+3y3-9xy+10.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x3-xy2+y2 в области D: y = 0, y = 6, x = 0, x = 1.

Вариант 8

1. Найти и изобразить на чертеже область определения

функций а)z = 9 - x 2 - y2 ; б)z = arcsin(3-x2-y2) .

2.Вычислить приближенно 5 2,973 2,022 1 .

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(3x2y-y2).

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = ey-2x, где x = sin t, y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

17

z = z(x,y), заданной неявно: e z-1 = cosx cosy + 1, в данной точке M0 (0,π/2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u y xy

указанному уравнению x2 2u y 2 2u 0 .

x2 y 2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-xz-yz = 0, M0(0,2,2); б) S: x2+y2-4z2 = 4, M0(-2,2,1).

8.Определить градиент и производную заданной функции

y2 = 5x в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = x2+xy+y2+x-y+1.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+6y-xy-x2-y2 в области D: y = 0, y = 1, x = 0, x = 1.

Вариант 9

1.Найти и изобразить на чертеже область определения функций а)z = ln(x2+y2-3); б) z arcsin yx2 .

18

2.Вычислить приближенно ln((2,02)2+ 3 0,98 8 ).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = e-(x3+y3)y.

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = x2e-y, где x = sint, y = sin2t при t = 2 , с точностью до

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2-6x = 0, в данной точке M0 (1,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2+y2-z2+2yz+y-2z = 2, M0(1,1,1); б) S: x2-y2 = 16, M0(5,3,-1).

8.Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x2+y2) в т. M0(1,1) в направлении линии x2 + y2 = 2 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 4(x-y)-x2-y2.

19