А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова

Учебное пособие

Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа

Воронеж 2006

Воронежский государственный технический университет

Кафедра прикладной математики

А.П. Бырдин, н.В. Заварзин, а.А. Сидоренко, л.П. Цуканова

Учебное пособие

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2006

УДК 517.2

Бырдин А.П., Заварзин Н.В., Сидоренко А.А., Цуканова Л.П. Учебное пособие «Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа» для студентов специальностей 130400 - “Ракетные двигатели”, 100700 - “Промышленная теплоэнергетика”, 120100 - “Технология машиностроения”, 150201 - “Машины и технология обработки металлов давлением” очной формы обучения / Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2006. 240 с.

Излагаются элементы высшей математики. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения.

Издание предназначено для студентов первого курса.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 97.0 и содержится в файле «Математика.doc»

Ил. 70. Библиогр. 11 назв.

Рецензенты: кафедра математического моделирования ВГУ (Зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин) ;

канд. физ.-мат. наук Н.А. Гордиенко.

Ответственный за выпуск зав. кафедрой, д-р физ.-мат.

наук, проф. В.Д. Репников

• Бырдин А.П., Заварзин Н.В.,

Сидоренко А.А., Цуканова Л.П.

• Оформление ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2006

1. Элементы высшей алгебры

1.1. Матрицы

1. Определение. Прямоугольная таблица чисел, записанная в виде

, (1)

называется матрицей.

Коротко матрицу обозначают так: (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), где  элементы данной матрицы.

Элементы матрицы образуют столбцы и строки. Первый индекс (i) указывает номер строки, а второй (j) – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Матрица (1) имеет три строки и три столбца.

В высшей алгебре рассматриваются матрицы с любым числом строк и столбцов. Поэтому в общем виде матрица записывается следующим образом:

. (2)

Если в матрице число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной п-го порядка, а в противном случае - прямоугольной. Так, матрица (1) квадратная, третьего порядка. В матрице (2) m строк и n столбцов. Если m = 1, n  1, то получаем однострочечную матрицу (a₁ a₂ ...a_n), которая называется вектор - строкой. Если же m  1, а n = 1, то получаем одностолбцовую матрицу

,

которая называется вектор – столбцом.

Две матрицы и равны, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т. е. если при всех i и j (при этом число строк (и аналогично столбцов) матриц А и В должно быть одинаковым).

2. Свойства матриц. Матрицы подобно векторам можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

1^о. Суммой двух матриц и с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица , элементы которой определяются равенством (i = 1, 2, . . ., m; j = 1, 2, . . ., n).

Обозначение: А + В = С.

Пример 1. + = = = .

Аналогично определяется разность двух матриц.

2^о. Произведением матрицы на число  называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число : А =  = (i = 1, 2…, m; j = 1, 2, …, n).

Пример 2. 3 = = .

3^о. Произведением матрицы , имеющей m строк и k столбцов, на матрицу , имеющую k строк и n столбцов, называется матрица , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В, т.е.

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

При этом число k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено. Произведение обозначается так:

Пример 3.  =

= = .

Пример 4. Пусть А = , В = , тогда

= = ,

= = ,

 ,

т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.

З а м е ч а н и е. Правило умножения легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, есть скалярное произведение i-й вектор-строки матрицы A и j-го вектор-столбца матрицы В.

Справедливы следующие соотношения:

(A+B)  C = A  C +B  C,

C  (A+B) = C  A+C  B,

A  (B  C) = (A  B)  C,

(A+B)+C = A+(B+C).

4^о. Умножение на единичную матрицу. Совокупность элементов квадратной матрицы называется главной диагональю матрицы. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.

Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Е = .

Единичная матрица обладает замечательным свойством, а именно: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу. Это свойство и объясняет ее название «единичная»: при умножении матриц она обладает таким же свойством, как число 1 при умножении чисел.

Пример 5. Пусть A = и E = . Тогда согласно правилу умножения матриц имеем

A  E =  = ,

E  A =  = ,

откуда А  Е = А и Е  А = А.

С понятием матрицы тесно связано понятие определителя.