1. Введение

2. События. Классификация событий. Пространство элементарных событий

3. Алгебра событий

1. Введение

Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений с целью выявления закономерностей этих явлений при массовом их проявлении.

Случайное явление – это явление, которое при воспроизводстве может протекать каждый раз по-иному. Например, выпадение “герба” при бросании монеты, может произойти, а может и нет. При “независимых” бросаниях, количество которых велико, частота выпадения “герба”, т.е. отношение количества выпадения “герба” к общему количеству бросаний, будет близко к ½. Таким образом проявляется определенная систематическая устойчивость появления события (выпадения “герба”). Систематическая устойчивость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности количественной оценке “случайности“ того или иного события А, осуществляемого в результате эксперимента. Исходя из этого, теория вероятностей постулирует существование у события А определенной числовой характеристики Р(А), называемой вероятностью этого события, свойство которой состоит в том , что с ростом числа “независимых” испытаний (экспериментов) частота появления события А приближается к величине Р(А). Призванная изучать количественные характеристики “случайности”, теория вероятностей стала точной наукой лишь тогда, когда была создана ее аксиоматика. В этой связи кратко остановимся на основных этапах становления теории вероятностей.

Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине XVП века и связано с именами Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665), Гюйгенса (1629-1695).

Основы теории вероятностей были заложены Я. Бернулли (1654-1705) и Муавром (1667-1754). Якобу Бернулли принадлежит заслуга введения в науку “классического” определения понятия вероятности события как отношение числа возможный результатов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию, к числу всевозможных результатов испытаний.

Весьма значительный вклад в науку внес Лаплас (1749-1827), состоящий в применении вероятностных методов к теории ошибок наблюдений.

С именем Пуассона (1781-1840) в современной теории вероятностей связано понятие распределения и процесса, носящего его имя.

Гауссу (1777-1855) принадлежит заслуга создания теории ошибок и, в частности, обоснования одного из основных принципов обработки экспериментальных данных – метода наименьших квадратов.

Следующий важный период в развитии теории вероятностей связан с именами П.Л. Чебышева (1821-1894) , А.А. Маркова (1856-1922) , А.М. Ляпунова (1857-1918), создавших эффективные методы доказательства предельных теорем для сумм независимых произвольных случайных величин.

Лучшим выразителем идей Чебышева стал его ближайший ученик Марков. Значительным вкладом Маркова в теорию вероятностей является начатое им исследование предельных теорем для сумм независимых величин и создание одного из новых разделов теории вероятностей – теория независимых случайных величин – цепей Маркова.

Современный период развития теории вероятностей начинается с установлением аксиоматики. Первые работы в этом направлении принадлежат С.Н. Бернштейну (1880-1968), Р. Мизесу (1883-1953), Э. Борелю (1871-1956). В 1933 году вышла книга А.Н. Колмогорова “Основные понятия теории вероятностей”, в которой была предложена аксиоматика, получившая всеобщее признание и позволившая охватить не только все классические разделы теории вероятностей, но и дать строгую основу для развития ее новых разделов, связанных с бесконечными распределениями.

Теория вероятностей находит широкое применение в технике. Это связано с тем, что далеко не все физические явления могут быть описаны с помощью детерминированных законов достаточно точно. Например, полагают, что закон Ома u(t)=Ri(t) справедлив в любой момент времени, и на макроуровне такое утверждение можно считать вполне справедливым. Однако, на микроуровне это будет неверно. В этом можно убедится, подключив резистор большого номинала к входу усилителя с большим коэффициентом усиления и услышав шумы на выходе громкоговорителя. Вероятностный подход описания различного явления является более полным и детерминистический подход вытекает из него как частный случай. Ниже приведем ситуации, при которых может быть использован вероятностный подход.

1. Случайные входные сигналы. На практике редко встречаются входные сигналы, которые можно рассматривать как детерминированные. Чаще всего входные сигналы могут рассматриваться как случайные - это музыкальные и речевые сигналы, цифровые последовательности поступающие на компьютер, движение рулевого колеса автомобиля, последовательность нажатия кнопок в лифте, число транспортных средств, проезжающих мимо контрольно-пропускных пунктов и т.д.

2. Случайные возмущения. На входах и выходах многих систем кроме полезного сигнала присутствуют и случайные возмущения. Например, если сигнал с выхода усилителя с большим коэффициентом усиления подается на громкоговоритель, то слышны трески , шорохи, щелчки. Причиной тому служат тепловые движения электронов во входной цепи усилителя. Величину шумов в каждый момент времени нельзя предсказать. Однако можно найти среднюю мощность шума, его спектр и даже найти вероятности того, что необходимое значение шума превысит определенный уровень, что собственно и важно для практики. Если рассматривать теле- и радиоприемники, то у них кроме собственных шумов присутствуют случайные шумы, принимаемые антенной. Еще одним примером может служить полет самолета в турбулентной атмосфере, движение корабля во время шторма, движение автомобиля по пересеченной местности.

3. Случайные параметры системы. Во многих случаях параметры системы меняются случайным образом. Например, свойства различных полупроводниковых приборов описывают, задавая диапазоны значений параметров. При этом количественные значения параметра заранее неизвестны. Можно еще указать на коэффициент затухания тропосферной связи, загрузки рейсового самолета, нагрузки электрической энергосети и т.п.

4. Надежность системы. Теория вероятностей широко применяется при исследовании вопросов надежности систем, состоящих из большого количества различных элементов, которые могут выйти из строя. Моменты отказа заранее не- известны, однако можно определить среднее время наработки на отказ.

5. Контроль качества. Контроль качества изделия производится , как правило, выборочно, и часто является дорогостоящей процедурой. Поэтому возникает необходимость разработки эффективных с малыми затратами правил проверки. Такие правила вырабатываются с помощью теории вероятностей.

6. Теория информации. Главная цель теории информации состоит в разработке количественной меры информационного содержания сообщений. Использование такой количественной меры необходимо при создания каналов связи , служащих для передачи информации. Поскольку измерения и соответствующие им сообщения носят случайный характер, их описание может выполняться только с привлечением теории вероятностей. Кроме того каналы связи подвергаются воздействию случайных возмущений и описание их также должно быть вероятностным.

Из приведенного перечисления становится ясно, что при решении любой технической задачи приходится встречаться со случайностью или неопре-деленностью, а это делает теорию вероятностей необходимым инструментом современного инженера.

Основное понятие, на котором базируется теория вероятностей, является понятие события. Это понятие первично, как понятие точки и прямой в геометрии.

Под событием будем понимать всякий факт, который в результате реализации комплекса условий может произойти или не произойти.