3. Алгебра событий

Так как события можно рассматривать как множества, состоящие из элементов (элементарных событий), то для них можно ввести операцию сложения (объединения) , умножения (пересечения) и дополнения.

Если А и В - два множества , то под их сложением (объединением), обозначаемым А+В (АВ), будем понимать множество состоящее из элементов (точек), входящих или в А, или в В:

А+В={_i: _iA или _iB}

Здесь А означает, что элемент  принадлежит множеству А.

На языке теории вероятностей А+В – событие , состоящее в том , что произошло хотя бы одно из событий А или В.

Под умножением (пересечением) множеств А и В , обозначаемым АВ (АВ), понимается множество , состоящее из элементов (точек), входящий и в А, и в В:

АВ={_i: _iA и _iB}.

В вероятностном смысле событие АВ состоит в том, что одновременно произошло и событие А, и событие В.

Если А – некоторое подмножество , то под его дополнением, обозначаемым , понимается множество элементов (точек) из , не входящих в А. Если В-А (В\А) – означает разность множеств (множество элементов В, не входящих в А), то =-А (\А) или А+ =

На языке теории вероятностей означает событие противоположное событию А, т.е. событие, состоящее в ненаступлении события А.

Введем знак включения , который в теории множеств означает следующее. Пусть ВА, тогда В есть подмножество множества А. Другими словами множество В полностью состоит из элементов множества А. На языке событий это означает , что при появлении события В событие А обязательно произойдет.

Рассмотрим пример с двукратным бросанием монеты. Пусть А={ГГ, ГР, РГ} и В={ГР, РГ, РР} , то

А+В={ГГ, ГР, РГ, РР},

АВ={ГР, РГ},

={РР}.

Множества А и не имеет общих элементов, следовательно, множество А - пустое. Пустое множество будем обозначать О. Множество О в теории вероятностей, как было указано ранее, означает невозможное событие. С другой стороны А+ = - достоверное событие.

События А и В называются несовместимыми , если их совместное событие невозможно . На языке множеств это означает , что АВ=0.

События В_i называются попарно несовместимыми, если В_iB_j=0 (ij, i,j= )

События Вi образуют полную группу событий, если

В₁+ В₂+ …+В_N =.

Особый интерес представляют полные группы несовместимых событий

, т.е. =; В_iВ_j=; (ij, i,j= )

На приведенных ниже рисунках представлены диаграммы событий как множества, где геометрические точки означают элементарные события, а все точки квадрата образуют пространство элементарных событий .

П рактическое занятие №1

Задача1. Опыт – выстрел по мишени, которая представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат. Определить событие А – попадание в мишень и его варианты

Решение. Элементарное событие r₀ – попадание в любую точку с координатами {х,у}. Пространство элементарных событий – вся плоскость х 0 у.

Событие А – попадение в мишень, есть подмножество пространства :

А={х²+у²r²}; А

Варианты события А: А₁ – попадание в правую половину мишени;

А₂ – попадание в левую половину мишени.

А₁={(х,у)R²:х²+у²=r² ;х0};

А₂={(х,у)R²:х²+у²=r²; х0}.

Задача 2. В цепь включены два контакта К₁ и К₂, соединенных последовательно. Определить событие, состоящее в том, что в цепи протекает ток.

Решение. Прохождение тока возможно лишь при условии что К₁ иК₂ замкнуты. Обозначем через А – событие, состоящая в том, что К₁ – замкнут; В – К₂ замкнут.

С – ток проходит через цепь..

Запишем пространство элементарных событий. Обозначим элементарные события следующим образом:

₀₀ – оба контакта разомкнуты, 11 – оба замкнуты,

₁₀ – 1^й – замкнут, ₀₁ – 2^й – замкнут.

={₀₀,₀₁,₁₀,₁₁}; Событие А={₁₀,₁₁}; В={₀₁,₁₁}.

Тогда С={₁₁}=АВ, т.е. появление события С соответствует появлению одновременного события А иВ.

Задача 3. Найти зависимость между А,В,С в условиях предыдущего примера, когда ключи К₁ и К₂ соединены параллельно.

Решение.

События те же, С – протекание тока в цепи.

А={₁₀,₁₁}; В={₀₁,₁₁};

С={₁₀,₀₁,₁₁}=А+В, т.е. появлению хотя бы одного из событий А или В соответствует появлению события С.

Задача 4.. По каналу связи передается 3 сообщения. Каждое из них может быть искажено. Определить следующие события:

А={все сообщения будут переданы без искажений}

В={все сообщения будут искажены}

С={не менее 2 – х сообщений будет искажено}

Построим пространство элементарных событий, которое будет содержать исходы, соответствущие искажению любого одного сигнала, двух любых сигналов, трех сигналов.

={000,100,010,001,110,011,101,111}

0 – сигнал передан без искажений;

1 – сигнал искажен.

Тогда искомые события могут быть представлены в следующем виде:

А={111}; В={000}; С{110,011,101,111}.

Задача 5. Какая из групп событий, перечисленных ниже, образуют полную группу событий?

а) опыт — бросание монеты; события:

А₁= {герб}; A₂= {решка};

б) опыт — бросание 2-х монет; события:

В₁= {два герба}; В₂= {две решки};

в) опыт — бросание 2-х игральных костей; события:

С₁= {на обеих костях шестерки};

С₂= {ни на одной кости 6-ки нет};

г) опыт — передача 2-х сигналов по каналу связи; события:

D₁= {оба сигнала искажены};

D₂= {оба сигнала неискажены};

д) опыт — передача 3-х сигналов по КС; события:

Е₁= {все 3-и сообщения переданы без ошибок};

Е₂= {все 3-и сообщения переданы с ошибками}.

Задача 6. В какой из групп событий, перечисленных ниже, события являются несовместимыми?

а) опыт — бросание 2-х монет; события:

А₁= {герб на 1-й монете};

A₂= {герб на 2-й монете};

б) опыт — 2-а выстрела по цели; события:

В₁= {ни одного попадания};

В₂= {два попадания};

в) опыт — 2-а выстрела по цели; события:

С₁= {1-о попадание};

С₂= {1-н промах};

г) опыт — вынимание 2-х карт из колоды; события:

D₁= {обе карты черной масти};

D₂= {среди вынутых карт есть 7 пик};

D₃= {среди вынутых карт есть дама треф};

д) опыт — передача 3-х сообщений по радио; события:

Е₁= {в 1-м сообщении есть ошибка};

Е₂= {во 2-м сообщении есть ошибка}.

Задача 7. В какой из ниже перечисленных групп события равновозможные:

а) опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; события:

А₁= {герб};

А₂= {решка};

б) опыт — бросание 2-х монет; события:

В₁= {2-а герба};

В₂= {2-е решки};

в) опыт — вынимание наугад одной карты из колоды; события:

С₁= {черва};

С₂= {буба};

С₃= {трефа};

С₄= {пика};

г) опыт — бросание игральной кости; события:

D₁= {выпадение не менее 3-х очков};

D₂= {выпадение не более 3-х очков}.

Лекция № 4

Тема: Вероятность случайного события.Способы задания вероятностей.

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред. Поповського В. В. - Харків, СМИТ, 2011.

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..