1.3 Нормальное распределение

Среди распределений случайных величин особое место занимает нормальное распределение (распределение Гаусса). Этот закон является широко распространенным , часто и обоснованно используется в теории и практике телекоммуникаций. Это объясняется следующими причинами.

1. Это хорошая математическая модель для ряда наблюдаемых случайных величин и во многих случаях можно строго доказать, что случайная величина имеет гауссовскую модель, в соответствии с теоремой Шермана нормальный закон является наилучшей аппроксимацией неизвестного распределения.

2. Линейные комбинации гауссовских величин являются гауссовскими .

3. Гауссовский случайный процесс может быть описан двумя параметрами - первого и второго моментов.

4. Гауссовский закон распределения очень распространен в задачах практики . Так он проявляется в тех случаях , когда случайная величина Х является результатом действия многих факторов , каждых из которых оказывает незначительные действия и нельзя доказать какой из них определяющий . Причем законы распределения этих составляющих могут быть самыми различными. Это подтверждается центральной предельной теоремой. В каналах связи часто возникает многолучевой характер распространения радиоволн, поэтому мгновенные значения сигнала являются случайно замирающими, и в силу выполнения условий центральной предельной теоремы подчиняются нормальному закону.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

График этой функции представлен ниже:

Для нахождения математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины нужно произвести замену переменной

, а затем,

воспользовавшись интегралом Пуассона:

.

проинтегрировать по частям. В результате получим, что

и

Отметим некоторые характерные свойства графика плотности вероятностей нормального распределения.

1. Кривая обладает симметрией относительно ординаты, походящей через точку .

2. Кривая имеет один максимум при равный

3. При |x| ветвь кривой асимптотически приближается к оси Х-ов.

4. Изменение приводит к смещению вдоль оси Х-ов кривой; стремление приближает кривую к дельта-функции, т.е.

.

Для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (<x<) используется так называемая функция Лапласа (интеграл ошибок):

,

таблицы значений которой приведены в справочной литературе. Путем несложных преобразований можно показать, что

.

Воспользуемся полученной формулой для нахождения вероятности того, что разброс нормально распределенной величины около своего среднего значения не превышает :

Это значит, что выполнение неравенства практически достоверно. В этом заключается так называемое «правило трех сигм», которое нашло широкое практическое применение для приближенного определения диапазона изменения возможных значений .случайных величин, имеющих распределения, отличные от нормального.

Практическое занятие №1