5. Контрольные вопросы

1. Покажите связь между распределением Пуассона и биномиальным распределением.

2. Приведите определение простейшего потока: свойство ординарности.

3. Приведите определение простейшего потока: свойство стационарности.

4. Приведите определение простейшего потока: свойство отсутствие последействия..

5. Укажите связь распределения Пуассона с простейшим потоком.

6. Приведите примеры применения распределения Пуассона в ТКС.

Лекция № 9

Тема. Основные законы распределения непрерывной случайной величины

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред.Поповського В.В. - Харків, СМИТ, 2011.

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..

План лекции:

1. Основные законы распределения непрерывной случайной величины

1.1 Равномерное распределение

1.2 . Показательное распределение

1.3.Нормальное распределение

1. Основные законы распределения непрерывной случайной величины

1.1 Равномерное распределение вероятностей

Н епрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на интервале , если на этом интервале плотность вероятности постоянна, а вне его равна нулю , т.е. если

График ее приведен на рис.9.1

Рисунок 9.1- Плотность распределения равномерно распределенной с.в.

Числовые характеристики такой случайной величины легко находятся:

,

Функция распределения имеет вид

.

График функции показан на рис.9.2

Р исунок 9.2-Функция распределения равномерно распределенной с.в.

На практике равномерное распределение встречается тогда, когда среди принимаемых случайной величиной значений нет каких-либо предпочтительных . В частности , обычно считают , что это события , происходящие в произвольные моменты времени с равной вероятностью и которые могут происходить в любой момент времени. Также полагают, что неизвестная фаза гармонического сигнала с равной вероятностью может принимать любое значение в диапазоне 2 радиан.

Одно из важнейших приложений равномерного распределения – погрешность аналогово-цифрового преобразователя. Полагают, что средняя квадратичная ошибка преобразователя равномерно распределена в интервале , где - разность между двумя ближайшими уровнями квантования.

1.2 Показательное (экспоненциальное) распределение

В вероятностных моделях телекоммуникационных систем на основе теории марковских процессов, теории массового обслуживания и теории надежности часто имеют дело со случайными величинами, имеющими показательное распределение.

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность вероятностей имеет вид:

Функция распределения легко находится

, если

и

для

Графики этих функций имеют виды:

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, подчиненную показательному закону:

Используя интегрирование по частям, легко показать, что и . Таким образом, для показательного распределения .

Показательное распределение тесно связано с простейшим потоком событий. Доказано, что интервал времени между двумя событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока, т..е, если поток заявок в узле телекоммуникационной сети моделируется простейшим потоком, то время между отдельными заявками (сообщениями, пакетами) имеет показательное распределение.

В системах массового обслуживания время обслуживания одной заявки , которое характеризует пропускную способность системы, - случайная величина, распределенная по показательному закону.

Пример. Средне время наработки на отказ ПЭВМ составляет четыре года. Поскольку реальный срок службы Т является случайной величиной с показательным распределением, определить вероятность того, что после четырех лет службы ПЭВМ будет работать.

Решение. Искомая вероятность р(Т>4) может быть найдена следующим образом

Так как , то

.