3. Моменты высших порядков

Математическое ожидание и дисперсия характеризует самые важные черты распределения: его положение на оси и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков. Третий центральный момент служит для характеристики скошенности распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка равны 0. Действительно, при симметричном распределении и нечетном S в сумме каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по величине отрицательное слагаемое, так что они взаимно уничтожаются и сумма равна 0. Поэтому в качестве характеристики ассиметрии естественно выбрать какой-нибудь из нечетных моментов – проще всего . Чтобы получить безразмерную характеристику, ее делят на куб среднеквадратичного отклонения. Полученная величина носит название “коэффициента ассиметрии” и обозначают её Sk (skrew – косой)

При - Sk>0 положительная ассиметрия, при- Sk<0 орицательная ассиметрия

Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой “крутизны” ,т.е. островершинности распределения, применяется в основном к непрерывным с.в.. Это свойство характеризуется с помощью так называемого эксцесса:

.

Для нормального распределения ; кривые, более островершинные, чем

нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным. Характеристикой пользуются главным образом для симметричных распределений.

Практическое занятие №1

Тема: Определение числовых характеристик случайной величины

Постановка задачи: передается N сообщений по каналу связи, каждое сообщение с вероятностью р=а независимо от других искажается. Случайная величина X– число искаженных сообщений. Построить ряд распределения, найти м.о., дисперсию, с.к.о непосредственно по ряду и сравнить с теми, которые получены аналитически.

2 Порядок решения задачи.

2.1. По схеме опыта определить закон распределения случайной величины, множество ее возможных значений и построить ряд распределения. Ряд распределения представить в виде двух массивов. Построить ряд распределения в виде столбиковой диаграммы, используя функцию bar пакета Matlab.

2.2. Определить математическое ожидание и дисперсию по известным формулам через параметры распределения с.в.и сравнить с полученными в п.2.3.

2.3. Увеличить число сообщений в 10 раз, уменьшить вероятность в 10 раз и повторить решение (п.2.1-2.2).

2.4 Сравнить результаты п.п.2.2 и 2.3

2.5. Для данных п.2.3. использовать приближенные значения с помощью фрагмента 2 программы. Сравнить результаты п.п.2.4 и 2.3.

3. Содержание отчета:

- постановка задачи;

- ряд распределения в виде таблицы

- результаты решения в пакете Matlab.

- выводы

4. Рекомендации к выполнению.

4.1. Использовать варианты заданий из таблицы

№ задания	Число сообщений N	Вероятность p
1	10	0.5
2	10	0.4
3	10	0.3
4	20	0.25
5	20	0.15
6	10	0.35
7	10	0.25
8	10	0.1
9	15	0.2
10	15	0.1
11	15	0.3
12	15	0.4
13	16	0.1
14	16	0.12
15	16	0.16
16	17	0.17
17	18	0.18

4.2 Использовать в качестве примера следующий текст:

%фрагмент 1

clear

p=0.3

N=10

for k=1:N+1

X(k)=k-1;

C(k)=factorial(N)/factorial(k-1)/factorial(N-k+1);

P(k)=C(k)*p^(k-1)*(1-p)^(N-k+1);

end

m=X*P'

d=(X-m).^2*P'

m1=N*p

d1=N*p*(1-p)

bar(X,P)

%фрагмент 2

clear

p=0.03

N=100

a=p*N

for k=1:N+1

X(k)=k-1;

P(k)=a^k*exp(-a)/factorial(k);

end

m=X*P'

d=(X-m).^2*P'

bar(X,P)