Задача1

Матрица распределения системы двух с.в. X и Y задана таблицей:

Найти числовые характеристики системы: m_x; m_y; D_x; D_y; σ_x; σ_y; K_xy и r_xy.

Решение.

Прежде всего найдем ряды распределения отдельных величин X и Y, суммируя вероятности, стоящие в 1-й, 2-й и 3-й строках, получим:

Р(х=1)=0,1+0+0,2=0,3;

Р(х=2)=0+0,3+0=0,3;

Р(х=4)=0,1+0,3+0=0,4;

Р(y=0)=0,1+0+0,1=0,2;

Р(y=2)=0+0,3+0,3=0,6;

Р(y=5)=0,2+0+0=0,2; 

1) определим числовые характеристики с.в. X

m_x=1 0,3+2 0,3+4 0,4;

[X]=1² 0,3+2² 0,4+4² 0,4=7,9;

D_x=7,9-2,5²=1,65;

σ_x= ≈1,285.

2) определим числовые характеристики с.в. Y,

m_y=0 0,2+2 0,6+5 0,2=2,2; [Y]=0² 0,2+2² 0,6+5² 0,2=7,4;

D_y=7,4-2,2²=2,56;

σ_y=1,6.

3) Находим числовые характеристики системы с.в.:

M[X Y]= =1 0 0,1+1 2 0+1 5 0,2+

2 0 0+2 2 0,3+2 5 0,2+4 0 0,1+4 2 0,3+4 5 0=4,6

K_xy=M[X Y]-m_x m_y=4,6-2,2 2,5=-0,9;

r_xy= = ≈-0,438.

Задача2.. Величина отношения «сигнал/шум» (с/ш) в канале радиосвязи измеряется периодически и представляет собой дискретную с.в. Две с.в. X и Y представляют собой отношения с/ш в смежных каналах и имеют следующие ряды распределения:

Х:	1	2	4
	0,3	0,3	0,4

У:	0	2	5
	0,2	0,6	0,2

Известно также, что значение с.в.X=2 с одинаковой вероятностью появляется со всеми значениями с.в Y, значение X=1 появляется только один раз вместе со случайной величиной Y=2, а значение X=4 появляется в два раза чаще вместе с Y=2, чем с Y=0 и Y=5. Определить, зависимы ли с.в. X и Y.

Задача 3

По каналу связи передается 6 сообщений. Каждое сообщение с вероятностью р=0,1 независимо от других искажается. Случайная величина Х – число искаженных сообщений, случайная величина Y – число сообщений, переданных без искажений. Определить числовые характеристики системы с.в , , .

Задача 4. Количество информационных сообщений, генерируемых абонентской станцией системы абонентского радиодоступа в одну минуту, и количество сообщений, генерируемых ею в следующую минуту, . представляют собой систему с.в.(X,Y)., матрица распределения которой задана таблицей:

	0	3	4
2	0,1	0,1	0,2
3	0	0,2	0
4	0,1	0,3	0

Определить числовые характеристики системы с.в: , ,

Задача 5. В радиолокационной системе с разнесенным приемом приемники находятся на таких расстояниях друг от друга, что сигналы Х, Y и Z статистически независимы. Законы распределения вероятностей для сигналов Х, Y и Z нормальные с нулевыми средними значениями и дисперсиями . Найти коэффициент корреляции для напряжений U и V. .

Задача 6 . Случайная величина Х имеет математическое ожидание и дисперсию ; величина Y связана с Х соотношением:

Y =3Х-2;

величина Z, в свою очередь, связана с Х соотношением:

Z=3-4Х.

Определить: а) корреляционный момент величин Y и Z; б) коэффициент корреляции Y и Z.

Задача 8 Система случайных величин (X,Y) имеет следующие характеристики: , , и коэффициент корреляции .

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=2X – 3Y.