- •Лекция № 3 Введение. Классификация событий. Действия над событиями
- •2. События. Классификация событий. Пространство элементарных событий
- •4. Практические занятия
- •Лекция№5:Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. Независимые случайные события
- •1.1 Распределение Релея
- •1 Система двух случайных величин
- •1.Введение
- •4. Практические занятия
- •2.Элементы теории множеств.
- •2.1 Определение множества. Мощность множества. Подмножества.
- •2.2 Множества и подмножества.
- •2.3 Способы задания множеств. Универсальное множество.
- •2.4 Операции над множествами.
- •Практическое занятие №2
- •Тема: Основные понятия комбинаторики.
- •2. Перестановки, размещения.
- •3. Сочетания.
- •4. Разбиение на группы:
- •1. Введение
- •3. Алгебра событий
- •1. Введение
- •2. События. Классификация событий. Пространство элементарных событий
- •Примеры.
- •3. Алгебра событий
- •События Вi образуют полную группу событий, если
- •Особый интерес представляют полные группы несовместимых событий
- •План лекции:
- •2. Классический способ задания вероятностей.
- •3. Статистическая вероятность
- •4. Геометрическая вероятность.
- •Лекция№5
- •2. Формула полной вероятности.
- •3. Формула Байеса (теорема гипотез).
- •4. Независимые случайные события.
- •Контрольные вопросы и тесты
- •2 Закон распределения случайной величины.
- •3. Функция распределения
- •4. Плотность распределения случайной величины
- •Практическое занятие №1
- •1.Математическое ожидание , мода и медиана случайной величины
- •2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •3. Моменты высших порядков
- •Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины
- •2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •3. Моменты высших порядков
- •Практическое занятие №1
- •5. Контрольные вопросы и задания
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Простейший поток событий
- •1. Испытания (схема) Бернулли. Биномиальное распределение
- •Если ставить вопрос о появлении события а k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде
- •2. Распределение Пуассона.
- •3. Простейший поток событий
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Практическое занятие № 2
- •5. Контрольные вопросы
- •1.1 Равномерное распределение вероятностей
- •1.2 Показательное (экспоненциальное) распределение
- •1.3 Нормальное распределение
- •Задача 1
- •Решение
- •Решение
- •Задача 4
- •Задача 6
- •Практическое занятие №2
- •2. Рекомендуемые фрагменты программ
- •1.1 Распределение Релея
- •1.1 Распределение Релея
- •1.2 Распределение Максвелла
- •1.3 Логарифмическое нормальное распределение
- •2. Функция случайной величины.
- •Практическое занятие №1
- •3. Рекомендации к выполнению.
- •Практическое занятие №2
- •Задача3
- •1 Система двух случайных величин
- •1 Система двух случайных величин
- •1.2 Плотность распределения двух случайных величин
- •1.3 Условные функция распределения и плотность распределения
- •1.4 Корреляция двух случайных величин
- •Аналогично имеем
- •2. Система произвольного числа случайных величин
- •Задача1
- •Практическое занятие №2 Тема: Исследование системы двух случайных величин
- •Так как под интегралом в (1) находится неотрицательная величина, то, выбросив из интервала интегрирования отрезок ав, мы значение интеграла не увеличим, т.Е.
- •2. Характеристические функции
- •Для дискретной случайной величины х с законом распределения
- •Свойства характеристической функции
- •3. Центральная предельная теорема
- •2. Числовые характеристики выборки
- •2.1. Выборочное среднее
- •Выборочная дисперсия
- •3. Статистический ряд. Статистическая функция распределения
- •4. Статистическая совокупность. Гистограмма
- •1. Оценка параметров
- •2. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения оценок
- •3. Метод наименьших квадратов
2. Распределение Пуассона.
Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения: 0,1,2,…m (бесконечное, но счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой: (2)
Распределение Пуассона (2) зависит от одного параметра а, который является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х : ; ; .
Рисунок 8.2- Распределение Пуассона
Многоугольник распределения для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона с параметрами а=0,5; а=1; а=3,5 представлен. на рис. (8.2)
3. Простейший поток событий
На практике пуассоновское распределение связано с простейшим потоком событий. Рассмотрим такую задачу. Пусть на оси Ot (времени) случайным образом возникают точки – моменты появления каких-то однородных событий, например, вызовов на телефонной станции, или приходов посетителей в магазин. Последовательность таких моментов обычно называют “потоком событий”.
Если поток обладает следующими свойствами: отсутствием последействия, свойством стационарности и свойством ординарности, то он называется простейшим потоком. Пусть - число событий, возникших за время (0,t), определим основные свойства простейшего потока.
Отсутствие последействия. Если для двух непересекающихся отрезков времени , число событий возникших на одном из отрезков, не зависит от того, сколько их возникло на другом, то такое свойство потока называется отсутствием последствия. Физически эта независимость сводится к тому, что события появляются на оси времени в силу случайных причин , индивидуальных для каждого из отрезков времени. Говорят что будущее потока не зависит от его прошлого, отсюда и название “отсутствие последствия”
Свойство стационарности. Если обозначить - число событий на интервале , то вероятность появления m событий на интервале , зависит от длины интервала и не зависит от его начала , т.е. если мы имеем равные , в разных перекрывающих промежутках времени ; ; то вероятности появления m событий будут равны. Из этого следует, что среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначают его и называют интенсивностью потока. Для стационарного потока .
Ординарность. Это свойство означает, что события возникают по одиночке, а не группами по 2, 3 и т.д. Точнее, ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события.
Если поток является простейшим с интенсивностью , то случайная величина Х- число событий, попавших на участок времени длиной , распределена по закону Пуассона, с параметром ;
Если же интенсивность потока Х не постоянна, а зависит от времени , то вероятность попадания точно событий на участок длины , начинающий в т. и кончающийся в т. имеет тоже распределение Пуассона. , где
Пример. На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью (вызов/мин). Найти вероятность того что за 2 мин. поступит хотя бы один вызов.
Решение. Случайная величина Х- число вызовов за 2 мин – распределена по закону Пуассона с (вызов/мин).
;
;
Практическое занятие №1
Задача 1.
Что вероятнее, попасть в цель 3 раза при 4х выстрелах или 5 при 8 выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле р=0,5?
Решение: Формула Бернулли
Задача 2.
Устройство состоит из тысячи элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут точно 3 элемента.
Решение: По условию n=1000, k=3, p=0.002. Воспользуемся формулой Пуассона:
;
Задача 3.
Среднее число сообщений, генерируемых терминалом корпоративной сети в одну минуту = 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит в сеть:
а) 4 сообщения; б)менее 4х сообщений; в) не менее 4х сообщений