1.3 Логарифмическое нормальное распределение

В системах связи затухание сигнала при прохождении его по тракту выражается как

,

где и - мощности выходного и входного сигналов. Из экспериментов известно, что затухание А очень часто ведет себя как гауссовская случайная величина. Отсюда возникает задача определения плотности вероятностей отношения мощностей. Для решения этой задачи введем две случайные величины X и Y , связанные соотношением X=e^Y , считая, что Y представляет собой гауссовскую случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией . Можно показать , что плотность распределения вероятностей для Х имеет вид

Это и есть логарифмически нормальная плотность распределения вероятностей.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны

.

2. Функция случайной величины.

При решении технических задач часто встречаются ситуации, когда одна случайная величина является функцией другой с известным законом распределения , причем необходимо определить закон распределения первой. Задачу сформулировать можно следующим образом. Пусть задана функция g , осуществляющая отображение одной случайной величины X с заданным законом распределения в другую Y, то есть Y=g(X) . Требуется найти закон распределения случайной величины Y. Решение задачи начнем с дискретного случая. Пусть Х – дискретная случайная величина , имеющая ряд распределения:

Х	х1	x2	…	xn
р	p1	p2	…	pn

Тогда Y=g(X) – также дискретная случайная величина , принимающая значения

, , … , .

Если все значения - различны, то события и для тождественны, а значит и и искомый ряд имеет вид

Y	y1	y2	…	yn
р	p1	p2	…	pn

Если же среди чисел есть одинаковые, то их нужно отнести в таблице в один столбец, а соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывной случайной величины задача ставится следующим образом. Зная плотность распределения случайной величины Х и функцию отображения g(x) , найти плотность распределения случайной величины Y=g(X). Пусть - плотность распределения случайной величины Х и - монотонная и дифференцируемая функция.

Обозначим - плотность распределения вероятностей с лучайной величины Y. По определению имеем .

Но вероятность попадания случайной величины Y в интервал равна вероятности попадания случайной величины Х в интервал , поэтому

x = g^-1(y),

где - обратная функция к функции . Если функция - монотонно убывающая функция, то приращению соответствует приращение . Следовательно,

Пусть теперь y=g(x) функция такова, что обратная функция неоднозначна, то есть одному значению y соответствует несколько значений аргумента:

, ,…, ,

где n – число участков, на которых функция меняется монотонно.

Очевидно, что событие происходит при наступлении хотя бы одного из несовместимых событий , ,…, . Другими словами вероятность появления события равна вероятности события

+ +…+ . Поэтому

а значит

Здесь - обратная функция монотонной на k-том участке функции .

В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию. Пусть приложенное к электрической цепи напряжение или текущий через нее ток носит случайный характер с гауссовским законом распределения. Мощность, рассеиваемая на активном сопротивлении, представляет собой случайную величину пропорциональную квадрату тока или напряжения. Найти плотность распределения вероятностей мощности. Пусть I – случайная величина, соответствующая значениям тока, а W=RI² – мощность. Найдем обратную функцию , которая двузначная. Если обозначить - плотность распределения вероятностей тока, то плотность распределения вероятностей мощности будет иметь вид

При гауссовском законе распределения тока I с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией :

имеем

График этой функции имеет вид

f_n(w)

Числовые характеристики мощности легко определяются: