Лекция№5

Тема:Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. Независимые случайные события

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред.Поповського В.В. - Харків, СМИТ,2011.

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..

План лекции:

1. Условная вероятность события

2. Формула полной вероятности

3. Формула Байеса

4. Независимые случайные события

1. Условная вероятность события

В ряде случаев приходится рассматривать вероятности случайных событий, в предположении, что произошло некоторое случайное событие. Прежде чем давать определение условной вероятности, рассмотрим пример.

Пусть пространство элементарных событий состоит из n одинаково возможных элементарных событий, событию А благоприятствует m элементарных событий, событию В состоит из l исходов, событию АВ благоприятствует r исходов.

;

Если произошло событие В, то произошло одно из l элементарных событий. Событие А произойдет только тогда, когда произойдет одно из r событий, т.е.

;

Определение: Условной вероятностью события А при условии, что произойдет событие В называют

, (5.1)

Из этого определения следует что вероятность события А/В можно рассматривать, как вероятность события АВ с нормировкой Р(В).

Отсюда следует, что условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности:

1. 0  p(A/B) 1;

2. p(A/A)=1 ( p(0/A)=0 );

3. p((A₁+A₂)/B)=p(A₁/B)+p(A₂/B) (если р(А₁А₂)=0).

Формулу (5.1) можно рассматривать в виде

(теорема умножения).

Теорема умножения Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого

Совершенно очевидно, что неважно, какое событие выбрать первым Ее можно обобщить на случай трех и более событий:

.

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁) Р(А₂/А₁) Р(А₃/А₁А₂)…Р(А_n/А₁А₂…А_n-1);

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место

Пример. Пусть в семье имеется два ребенка. Какова вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики в предположении, что:

1. старший ребенок – мальчик;

2. по крайней мере, один из детей – мальчик?

Решение. Пусть обозначение МД означает событие, состоящее в том, что в семье старший ребенок – мальчик, а младший ребенок – девочка. Пространство элементарных событий при таких обозначениях элементарных событий будет иметь вид:

={ММ, МД, ДМ, ДД}.

Элементарные события будем считать равновероятными:

р(ММ)=р(МД)=р(ДМ)=р(ДД)=1/4.

Пусть А – событие: «старший ребенок – мальчик», В - «младший ребенок – мальчик». Тогда А+В событие: «хотя бы один ребенок - мальчик», АВ – «оба ребенка мальчики» и событие АВ/А отвечает на первый вопрос, а событие АВ/(А+В) отвечает на второй вопрос. Находим интересующие нас вероятности:

1. ,

2. .