2. Перестановки, размещения.

Пусть  - множество, состоящее из элементов, из него можно образовать различные наборы (подмножества), состоящие из элементов, . Эти различные наборы (подмножества) могут быть перестановками, размещениями, сочетаниями.

Определение 1. Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до , где - число элементов множества.

Всякое конечное множество (содержащее больше 1 элемента) можно упорядочить не единственным образом. Упорядоченные множества считаются разными, если они отличаются либо элементами, либо их порядком.

Определение 2. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества.

П ример: . Переставим элементы множества

, , , , ,

Пусть - число перестановок множества, содержащего элементов, имеет место равенство

Доказательство. Будем последовательно выбирать элементы множества  и размещать их в определённом порядке на местах. На первое место можно поставить любой из элементов, на второе место – любой из оставшихся элементов, и т. д. По правилу умножения все мест можно дополнить способами, т.е.

Пример: Сколькими способами можно упорядочить множество (1,2,3,…,2 }, чтобы каждое чётное число имело чётный номер.

Решение. Чётные числа можно расставить на чётные места (их ровно ) ! способами. Но каждому способу размещения чётных чисел по чётным номерам соответствует ! способов размещения нечётных чисел на местах с нечётными номерами, поэтому общее число перестановок указанного типа будет равно .

Определение 3. Размещением из элементов по , называется всякая упорядоченная часть множества, содержащая элементов

. Количество этих множеств легко посчитать, введя понятие выборки. Все множество элементов объёма (мощности ) будем называть генеральной совокупностью.

Произвольное подмножество составленное из элементов генеральной совокупности назовём выборкой объёма . Возможны два случая выборки.

1. Размещения без повторений (выбор без возвращения). В этом случае каждый элемент генеральной выборки может встречаться не более одного раза в любой выборке.

Первый элемент выборки может быть выбран способами, второй - способами, и т. д., последний способом. Всего упорядоченных множеств объёма из множества объёма можно составить штук. Таким образом, число различных размещений из элементов по , которое обозначается будет равно

.

При

Пример: для множества запишем всевозможные размещения по два элемента: ;

2. Размещения с повторениями (выбор с возвращением).

Размещение с повторениями - это такая выборка, в которой каждый элемент генеральной выборки объёма может встречаться любое число раз в каждой выборке объёма . Всего этих множеств будет . Иногда используется обозначение . Запишем всевозможные размещения с повторениями из множества по два элемента:

, всего 9 элементов, т.е. .

Пример 1: Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами можно это сделать?

способов.

Пример 2: Сколько существует телефонных номеров, состоящих из 6 различных цифр? .

.

Если цифры могут повторяться, то ;