2. Рекомендуемые фрагменты программ

%суммирование 10-ти равномерных с.в.

n=1000;

V=zeros(size(1:n));

for i=1:10

V=V+rand(size(1:n));

end

m=mean(V)

d=mean((V-m).^2)

subplot(1,2,1), plot(V)

grid

[aa,bb]=hist(V,20);

dx=(max(V)-min(V))/20;

subplot(1,2,2),barh(bb,aa/(N*dx)

grid

%функция normrnd(с заданными параметрами)

N=1000;

V=normrnd(1,2,1,N);

m=mean(V)%математическое ожидание

d=mean((V-m).^2)%дисперсия

sigma=std(V)%среднее квадратическое отклонение

subplot(1,2,1), plot(V)

grid

[aa,bb]=hist(V,20);%гистограмма

dx=(max(V)-min(V))/20;

subplot(1,2,2),barh(bb,aa/(N*dx))

grid

Лекция № 10

Тема. Законы распределения, связанные с гауссовым распределением. Функции случайной величины

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред.Поповського В.В. - Харків, СМИТ, 2011.

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..

План лекции:

1. Законы распределения, связанные с гауссовским распределением

1.1 Распределение Релея

1.2 Распределение Максвелла

1.3 Хи – квадратичное распределение

1.4 Логарифмическое нормальное распределение

2. Функции случайной величины.

1. Законы распределения, связанные с гауссовским распределением

1.1 Распределение Релея

Распределением Релея случайной величины или релеевской плотностью распределения вероятностей называется плотность распределения, которая описывается функцией:

(10.1)

Эту плотность распределения вероятностей ввел лорд Релей в 1880г. при рассмотрении огибающей суммы ряда гармонических колебаний разной частоты. В частности, можно показать, что плотность вероятностей амплитудных значений (т.е. огибающих) узкополосных случайных напряжений или тока, распределенных по нормальному закону, подчиняются релеевскому закону. Верен и общий случай. Пусть X и Y – назависимые гауссовские случайные величины с M(X)=M(Y)=0 и . Случайная величина будет иметь распределение Релея (10.1).

Г рафик релеевской плотности имеет вид:

Z



f(z)

Определим числовые характеристики релеевской случайной величины – математическое ожидание и дисперсию:

,

1.2 Распределение Максвелла

Пусть X, Y, Z – независимые гауссовские случайные величины с математическим ожиданием равным нулю и одинаковой дисперсией равной . Тогда случайная величина имеет плотность распределения вероятностей

которая является распределением Максвелла. Это распределение было получено Максвеллом при нахождении плотностей распределения вероятностей скорости молекул идеального газа.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с максвелловским распределением соответственно равны:

,

.

1.3. Хи – квадратичное распределение

Пусть имеется случайная величина

, (10.2)

где - независимые случайные величины с математическим ожиданием равным нулю и единичными дисперсиями. В этом случае говорят, что случайная величина Х² имеет хи-квадратичное распределение с n степенями свободы, а ее плотность распределения вероятностей равна:

Здесь - гамма-функция ( для натуральных n).

Если рассмотренные случайные величины нормировать так, чтобы их дисперсии были единичными, то распределение мощностей этих случайных величин можно считать хи-квадратичным с различными n. Так для распределения Релея величину Z² можно считать хи-квадратичной с n=2, а для распределения Максвелла величина W² хи-квадратична с n=3.

Математическое ожидание и дисперсия хи-квадратичной величины выражается очень просто благодаря исходному предположению о нулевых математических ожиданиях и о единичных дисперсиях компонент. Таким образом

Во многих задачах, связанных с обнаружением сигналов, где по ограниченной совокупности отсчетов измеряемого напряжения необходимо сделать вывод о наличии или отсутствии сигнала на фоне шумов, часто используется хи-квадратичное распределение. Если напряжение содержит только шумовую составляющую, то совокупность отсчетов имеет нулевое математическое ожидание и к ней применимо хи-квадратичное распределение. Если же в нем присутствует и сигнал, то математическое ожидание будет отличаться от нуля. Случайная величина представляющая собой сумму квадратов отсчетов в виде (10.2), будет характеризоваться нецентральным хи-квадратичным распределением.