- •Лекция № 3 Введение. Классификация событий. Действия над событиями
- •2. События. Классификация событий. Пространство элементарных событий
- •4. Практические занятия
- •Лекция№5:Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. Независимые случайные события
- •1.1 Распределение Релея
- •1 Система двух случайных величин
- •1.Введение
- •4. Практические занятия
- •2.Элементы теории множеств.
- •2.1 Определение множества. Мощность множества. Подмножества.
- •2.2 Множества и подмножества.
- •2.3 Способы задания множеств. Универсальное множество.
- •2.4 Операции над множествами.
- •Практическое занятие №2
- •Тема: Основные понятия комбинаторики.
- •2. Перестановки, размещения.
- •3. Сочетания.
- •4. Разбиение на группы:
- •1. Введение
- •3. Алгебра событий
- •1. Введение
- •2. События. Классификация событий. Пространство элементарных событий
- •Примеры.
- •3. Алгебра событий
- •События Вi образуют полную группу событий, если
- •Особый интерес представляют полные группы несовместимых событий
- •План лекции:
- •2. Классический способ задания вероятностей.
- •3. Статистическая вероятность
- •4. Геометрическая вероятность.
- •Лекция№5
- •2. Формула полной вероятности.
- •3. Формула Байеса (теорема гипотез).
- •4. Независимые случайные события.
- •Контрольные вопросы и тесты
- •2 Закон распределения случайной величины.
- •3. Функция распределения
- •4. Плотность распределения случайной величины
- •Практическое занятие №1
- •1.Математическое ожидание , мода и медиана случайной величины
- •2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •3. Моменты высших порядков
- •Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины
- •2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •3. Моменты высших порядков
- •Практическое занятие №1
- •5. Контрольные вопросы и задания
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Простейший поток событий
- •1. Испытания (схема) Бернулли. Биномиальное распределение
- •Если ставить вопрос о появлении события а k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде
- •2. Распределение Пуассона.
- •3. Простейший поток событий
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Практическое занятие № 2
- •5. Контрольные вопросы
- •1.1 Равномерное распределение вероятностей
- •1.2 Показательное (экспоненциальное) распределение
- •1.3 Нормальное распределение
- •Задача 1
- •Решение
- •Решение
- •Задача 4
- •Задача 6
- •Практическое занятие №2
- •2. Рекомендуемые фрагменты программ
- •1.1 Распределение Релея
- •1.1 Распределение Релея
- •1.2 Распределение Максвелла
- •1.3 Логарифмическое нормальное распределение
- •2. Функция случайной величины.
- •Практическое занятие №1
- •3. Рекомендации к выполнению.
- •Практическое занятие №2
- •Задача3
- •1 Система двух случайных величин
- •1 Система двух случайных величин
- •1.2 Плотность распределения двух случайных величин
- •1.3 Условные функция распределения и плотность распределения
- •1.4 Корреляция двух случайных величин
- •Аналогично имеем
- •2. Система произвольного числа случайных величин
- •Задача1
- •Практическое занятие №2 Тема: Исследование системы двух случайных величин
- •Так как под интегралом в (1) находится неотрицательная величина, то, выбросив из интервала интегрирования отрезок ав, мы значение интеграла не увеличим, т.Е.
- •2. Характеристические функции
- •Для дискретной случайной величины х с законом распределения
- •Свойства характеристической функции
- •3. Центральная предельная теорема
- •2. Числовые характеристики выборки
- •2.1. Выборочное среднее
- •Выборочная дисперсия
- •3. Статистический ряд. Статистическая функция распределения
- •4. Статистическая совокупность. Гистограмма
- •1. Оценка параметров
- •2. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения оценок
- •3. Метод наименьших квадратов
Если ставить вопрос о появлении события а k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде
-
Bk = AAA + + +
k n-k k n-k k n-k
Число различных слагаемых в правой части этого равенства равно числу испытаний из n по k , поэтому вероятность событий , которую будем обозначать , равна
Последовательность событий образует полную группу независимых событий . Действительно, из независимости событий получаем
Рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в n испытаниях. Она принимает значения 0,1,2…,к,…n. Но как известно, вероятность того, что событие А появится К раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
(1)
Говорят, что с.в. Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения равны 0,1,2…,к, …n, а соответствующие вероятности определяются по формуле (1). . Это название связано с тем, что равно коэффициенту при в разложении бинома
Возникает вопрос, какое максимальное значение принимает , если рассматривать , как функцию от k при фиксированном n? С этой целью рассмотрим отношение
Отсюда следует, что будет больше , если и меньше, если . Если - целое число, то Рn (m)=Рn (m-1). Это значит, что в двух точках достигается максимальное по k значение . Исключая эту ситуацию, имеем только одно целое число m, которое заключено в интервале
-
максимизирующее вероятность
.
n
Распределение (1) зависит от двух параметров : и .
Рассмотрим числовые характеристики с.в., распределенной по биномиальному закону.
Математическое ожидание числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
Очевидно, что общее число Х появлений события А в n испытаниях складывается из числа появления события А в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1 число появлений события А в 1-м испытании, Х2 число появлений события А во 2-ом, Хn – в n -ом, то общее число появлений события А в n опытах будет равно:
Тогда , где
- математическое ожидание числа появления события А в i – ом опыте. Определим его
Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Тогда
.
Дисперсия биномиального распределения с параметрами и равна произведению . .
Доказательство. По формуле дисперсии ;
Поскольку Х1, Х2,…Хn независимы, то можно записать.
Определим
;
; с вероятностью и :
; ;
Пример: Передается 5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью независимо от других искажений. Случайная величина Х – число искаженных сообщений. Построим ряд распределения, определим математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение непосредственно по ряду сравненим с теми, которые получены по формулам.
Решение: Случайная величина Х – число искаженных сообщений распределена по биномиальному закону, под испытанием понимается “передача сообщения”, под “успехом“- его искажение. С. в. принимает значения 0,1,2,3,4,5.
Ряд распределения будет иметь вид:
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,168 |
0,360 |
0,309 |
0,133 |
0,028 |
0,02 |
; ;
;
График распределения с параметрами n=5,p=0,3; k=0,1,2,3,4,5 представлен на рис.8.1
Рисунок 8.1 –Биномиальное распределения