Практическое занятие №2
Тема: Функции обработки множеств
1. Постановка задачи: построить множество путей в двухзвенной сети связи и провести их анализ..
2 Порядок решения задачи.
2.1. Используя граф сети, построить три пересекающихся пути из начальной вершины в заключительную и записать их в виде векторов.
2.2 Определить множество всех вершин, через которые проложены пути, используя функцию работы с множествами union(help union).
2.3. Определить общие для всех путей вершины, используя функцию обработки множеств intersect (help intersect)
2.4. Выбрать два пути, имеющих наименьшее число пересечений, и выполнить последующие действия.
2.5. Определить номера вершин 2-го пути, не содержащиеся в 1-м, используя функцию работы с множествами setdiff (help setdiff)
2.6. Определить номера вершин, не являющиеся общими для этих путей, используя функцию setxor (help setxor ).
2.7. Рекомендации к выполнению. Воспользоваться электронным учебником или функцией help в пакете Matlab.
Урок 8. Операторы и функции Функции обработки множеств
Лекция№2.
Тема: Основные понятия комбинаторики.
Литература
1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера.- М.: Наука,1975.-867 с.
2. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.
План лекции:
1.Основное правило комбинаторики
2. Перестановки, размещения.
3. Сочетания.
4. Разбиение на группы.
1.Основное правило комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, изучающий расположение объектов в соответствии с определёнными правилами и методы подсчёта всех возможных способов, которыми эти расположения могут быть сделаны.
Начала комбинаторики – XVIIIв связано с именем Паскаля, Ферма, Лейбница, 18в – Бернулли, Эйлер.
К концу 20в комбинаторика считалась завершённым разделом математики.
Роль комбинаторики особенно возросла с развитием теории вычислительных машин, теории информации, изучающей методы оптимального кодирования, декодирования и передачи информации.
В настоящее время комбинаторика является одним из интенсивно развивающихся разделов математики.
Рассмотрим основной принцип (правило) комбинаторики - правило умножения.
Пример.
Из
города А в город В ведут
различных путей, а из В в город С ведёт
путей. Каким числом различных путей
можно совершить путешествие из А в С
через город В?
Решение.
Выбрав один из путей из А в В, дальше можно проделать путешествие n способами. Общее число путей равно m n.
Обозначим
множество путей А в В
,
а множество путей из В в С
,
сколько различных пар
,
содержащих по одному элементу из этих
множеств можно организовать? Если
рассматривать пары в виде таблицы
то
очевидно, что таких пар
будет
.
Используя метод математической индукции можно доказать, основное правило комбинаторики, которое звучит так.
Пусть
требуется выполнить последовательно
действий. Если первое действие можно
выполнить
способами, второе –
способами, третье –
способами, и так до
-го
действия, которое можно выполнить
способами, то все
действий вместе могут быть выполнены
способами.
Пример. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 если:
а) ни одна из цифр не повторяется более одного раза;
б) цифры могут повторяться;
в) числа должны быть нечётными (цифры могут повторяться).
Решение.
а) первая цифра может быть выбрана 5 способами: 1,2,3,4,5.
Вторая цифра может быть выбрана 5 способами (добавление 0).
3 -я– 4 способами.
4
-я– 3 способами, тогда
способов.
б) для первой цифры имеем 5 случаев: 1,2,3,4,5;
Для второй 6 случаев: 0,1,2,3,4,5;
Для 3й – 6 случаев: 0,1,2,3,4,5;
Для 4й – 6 случаев: 0,1,2,3,4,5.
Итого:
вариантов.
в) первой цифрой может быть одна из цифр 1,2,3,4,5;
Второй – 0,1,2,3,4,5 – 6 способами
3 – 6 способами;
4я – (только нечётные цифры: 1,3,5) всего три способа, тогда
способов.