2.Элементы теории множеств.

2.1 Определение множества. Мощность множества. Подмножества.

Что такое множество? Ответить на этот вопрос не так-то просто, как это кажется на первый взгляд. Множество относится к категории наиболее общих основополагающих понятий математики. Поэтому вместо строгого определения принимаются некоторые основные положения о множестве и его элементах,

Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор придерживается такого определения: множество – это многое, мыслимое как единое (например: лес, алфавит, животные и т.д.). Это определение сформировалось на основе интуитивных представлений человека о совокупности.

Группа выдающихся французских математиков под псевдонимом Н. Бурбаки дает следующее определение: множество – совокупность (объединение) элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.

Советский математик Вентцель Е.С. дает следующее определение: множество – любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Множество обычно обозначают латинскими буквами А, В, С… N… Утверждение, что множество А состоит из различных элементов (и только из этих элементов) условно записываются так: А={а₁,а₂,а₃,…,а_n}. Множество однозначно определяется своими элементами. Принадлежность элемента множества (отношение принадлежности) обозначается символом , т.е. а₁ А, а₂ А,…, а_n А; в A, в не является элементом множества А.

Примеры множеств:

N – множество всех натуральных чисел;

R – множество действительных чисел;

Z – множество всех целых чисел;

С – множество комплексных чисел.

Два множества А и В равны (тождественны), (А=В) тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А является элементом В и обратно.

Множество может содержать любое число элементов – конечное или бесконечное. Соответственно имеем конечное множество и бесконечное множество. Конечное множество – число обслуживаемых абонентов; бесконечное множество – множество спектральных составляющих помехи.

Число элементов множества М называется мощностью или кардинальным числом (card) множества и обозначается как или cardM. Мощность конечного множества равна числу элементов этого множества. Мощность бесконечного множества – понятие более сложное. Множество мощности 1 называется единичным множеством (одноэлементным). Множество мощности 0 называется пустым множеством и обозначается Ǿ (специальным символом). Роль пустого множества аналогична роли числа нуль. Это понятие можно использовать для определения заведомо несуществующей совокупности элементов (например, действительные корни уравнения х²+1=0). Более существенным мотивом введения пустого множества является то, что заранее не всегда известно (или неизвестно вовсе) существуют ли элементы, определяющие какое-либо множество. Например, никто не знает, будет пустым или нет множество абонентов, звонящих по одному номеру в данный момент времени. Без понятия пустого множества во всех подобных случаях, говоря о каком-нибудь множестве, приходилось добавлять оговорку «если оно существует».

Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Бесконечное множество называется счетным, если можно установить взаимнооднозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. Кардинальные числа, соответствующие бесконечным множествам, называются бесконечными кардинальными числами. Кардинальное число каждого счетного множества совпадает с кардинальным числом множества натуральных чисел и обозначается символом N₀.

Множество всех действительных чисел несчетно, соответствующее кардинальное число обозначается символом N. Множество действительных чисел [0,1] - несчетно, его мощность называется континуум, множества такой мощности называются континуальными.