3. Сочетания.

Определение 5. Две неупорядоченные выборки объёма будем считать различными, если в одной из них содержится элемент, не содержащийся в другой.

Например. Из генеральной совокупности различные выборки по 2 элемента: отличаются от размещений .

Определение 6. Сочетаниями из элементов по называются различные выборки объёма из генеральной совокупности объёма .

Число различных выборок объёма k из генеральной совокупности, состоящей из n элементов, называется числом сочетаний из n по k элементов и обозначается . Выведем для определения этого числа формулу.

1.Сочетания без повторений. Мы знаем, что из генеральной совокупности объёма n можно способами получить упорядоченные выборки объёма k. По определению - число различных выборок объёма k, образованных из n элементов. Чтобы получить упорядоченные выборки на каждой из выборок нужно сделать все возможные перестановки, число таких перестановок . Тогда можно записать ; .

Если выразить через факториалы, то .

Пример: Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из 7? ;

Числа называются биномиальными коэффициентами: - биномиальная формула. Имеет место важное свойство биномиальных коэффициентов:

;

;

.

2. Сочетания с повторениями.

Определение 7. Сочетаниями из n элементов по k с повторениями, называются различные выборки объёма k из генеральной совокупности объёма n, в которых каждый элемент генеральной выборки может встречаться любое число раз .

;

Число сочетаний с повторениями, в которых каждый элемент представлен хотя бы один раз равно :

.

Пример : Кости домино можно рассматривать, как сочетания с повторениями по 2 из 7 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Число таких сочетаний равно: ;

4. Разбиение на группы:

Пусть  - множество из n элементов. Поставим следующий вопрос: каким числом способов следующее множество  можно представить в виде объединения попарно непересекающихся множеств , содержащих соответственно элементов, ; ; , ; .

Всё разбиение множества  на групп можно получить так: возьмём произвольное - элементное подмножество множества  (это можно сделать способами ), среди оставшихся элементов возьмём - элементное подмножество (это можно сделать способами) и т. д. Общее число способов выбора различных множеств по правилу умножения равно:

; ; .

Число разбиений множества  из n элементов на множеств , число элементов которых соответственно , будет равно:

Числа называют полиномиальными коэффициентами.

Пример: Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трём комнатам: одноместной, трёхместной и четырёхместной?

Практическое занятие

Задача1. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 если каждая цифра входит в изображение числа один раз!

Решение. Искомое число трёхзначных чисел Р₃=3! = 1·2·3=6

Задача 2. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика содержащего 10 деталей?

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать слово из 5 букв из 30 букв алфавита?

Задача 4. Сколькими способами собрание из 50 человек может выбрать из своей среды председателя, заместителя и секретаря?

Решение

а) это выборки без повторений (1 человек не может выполнять 3 функции одновременно);

б) выборки упорядоченные, т.к. любой человек может быть председателем, или заместителем, или секретарем.(это будут разные выборки). Тогда – это размещения без повторения, т.е. )

Задача 5. Сколько различных диагоналей можно провести в выпуклом десятиугольнике?

Задача 6. В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого N-угольника, если никакие 3 из них не пересекаются в одной точке?

Задача 7. Сколько всех возможных дробей можно составить из чисел: 3,5,7,11,13,17?

Задача 8. Номера автомобилей одной серии начинаются с 0001 и заканчиваются 9999. Определить число машин, номер которых:

а) не содержит одинаковых цифр;

б) содержит 3 одинаковых цифры;

в) 2 одинаковых цифры;

г) 2 пары одинаковых цифр;

д) все одинаковые цифры.

Задача 9.В группе 22 студента, из них 8 отличников. Наугад выбрали 9 студентов. Определить число вариантов, в которых среди отобранных – 5 студентов-отличников.

Задача 10. Сколькими способами можно разделить 28-битное сообщение на 3 сообщения по 16, 8 и 4х битные сообщения.

Задача 11. Сколькими способами можно распределить 630 каналов на 3 группы: 30, 120, 480?

Теория вероятностей

Лекция № 3

Тема: Введение. Классификация событий. Действия над событиями

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред.Поповського В.В. - Харків, СМИТ,.2011

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..

План лекции: