- •Лекция № 3 Введение. Классификация событий. Действия над событиями
- •2. События. Классификация событий. Пространство элементарных событий
- •4. Практические занятия
- •Лекция№5:Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. Независимые случайные события
- •1.1 Распределение Релея
- •1 Система двух случайных величин
- •1.Введение
- •4. Практические занятия
- •2.Элементы теории множеств.
- •2.1 Определение множества. Мощность множества. Подмножества.
- •2.2 Множества и подмножества.
- •2.3 Способы задания множеств. Универсальное множество.
- •2.4 Операции над множествами.
- •Практическое занятие №2
- •Тема: Основные понятия комбинаторики.
- •2. Перестановки, размещения.
- •3. Сочетания.
- •4. Разбиение на группы:
- •1. Введение
- •3. Алгебра событий
- •1. Введение
- •2. События. Классификация событий. Пространство элементарных событий
- •Примеры.
- •3. Алгебра событий
- •События Вi образуют полную группу событий, если
- •Особый интерес представляют полные группы несовместимых событий
- •План лекции:
- •2. Классический способ задания вероятностей.
- •3. Статистическая вероятность
- •4. Геометрическая вероятность.
- •Лекция№5
- •2. Формула полной вероятности.
- •3. Формула Байеса (теорема гипотез).
- •4. Независимые случайные события.
- •Контрольные вопросы и тесты
- •2 Закон распределения случайной величины.
- •3. Функция распределения
- •4. Плотность распределения случайной величины
- •Практическое занятие №1
- •1.Математическое ожидание , мода и медиана случайной величины
- •2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •3. Моменты высших порядков
- •Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины
- •2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •3. Моменты высших порядков
- •Практическое занятие №1
- •5. Контрольные вопросы и задания
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Простейший поток событий
- •1. Испытания (схема) Бернулли. Биномиальное распределение
- •Если ставить вопрос о появлении события а k-раз в n испытаниях в произвольном порядке, то событие представимо в виде
- •2. Распределение Пуассона.
- •3. Простейший поток событий
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Практическое занятие № 2
- •5. Контрольные вопросы
- •1.1 Равномерное распределение вероятностей
- •1.2 Показательное (экспоненциальное) распределение
- •1.3 Нормальное распределение
- •Задача 1
- •Решение
- •Решение
- •Задача 4
- •Задача 6
- •Практическое занятие №2
- •2. Рекомендуемые фрагменты программ
- •1.1 Распределение Релея
- •1.1 Распределение Релея
- •1.2 Распределение Максвелла
- •1.3 Логарифмическое нормальное распределение
- •2. Функция случайной величины.
- •Практическое занятие №1
- •3. Рекомендации к выполнению.
- •Практическое занятие №2
- •Задача3
- •1 Система двух случайных величин
- •1 Система двух случайных величин
- •1.2 Плотность распределения двух случайных величин
- •1.3 Условные функция распределения и плотность распределения
- •1.4 Корреляция двух случайных величин
- •Аналогично имеем
- •2. Система произвольного числа случайных величин
- •Задача1
- •Практическое занятие №2 Тема: Исследование системы двух случайных величин
- •Так как под интегралом в (1) находится неотрицательная величина, то, выбросив из интервала интегрирования отрезок ав, мы значение интеграла не увеличим, т.Е.
- •2. Характеристические функции
- •Для дискретной случайной величины х с законом распределения
- •Свойства характеристической функции
- •3. Центральная предельная теорема
- •2. Числовые характеристики выборки
- •2.1. Выборочное среднее
- •Выборочная дисперсия
- •3. Статистический ряд. Статистическая функция распределения
- •4. Статистическая совокупность. Гистограмма
- •1. Оценка параметров
- •2. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения оценок
- •3. Метод наименьших квадратов
2. Перестановки, размещения.
Пусть - множество, состоящее из элементов, из него можно образовать различные наборы (подмножества), состоящие из элементов, . Эти различные наборы (подмножества) могут быть перестановками, размещениями, сочетаниями.
Определение 1. Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до , где - число элементов множества.
Всякое конечное множество (содержащее больше 1 элемента) можно упорядочить не единственным образом. Упорядоченные множества считаются разными, если они отличаются либо элементами, либо их порядком.
Определение 2. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества.
П ример: . Переставим элементы множества
, , , , ,
Пусть - число перестановок множества, содержащего элементов, имеет место равенство
Доказательство. Будем последовательно выбирать элементы множества и размещать их в определённом порядке на местах. На первое место можно поставить любой из элементов, на второе место – любой из оставшихся элементов, и т. д. По правилу умножения все мест можно дополнить способами, т.е.
Пример: Сколькими способами можно упорядочить множество (1,2,3,…,2 }, чтобы каждое чётное число имело чётный номер.
Решение. Чётные числа можно расставить на чётные места (их ровно ) ! способами. Но каждому способу размещения чётных чисел по чётным номерам соответствует ! способов размещения нечётных чисел на местах с нечётными номерами, поэтому общее число перестановок указанного типа будет равно .
Определение 3. Размещением из элементов по , называется всякая упорядоченная часть множества, содержащая элементов
. Количество этих множеств легко посчитать, введя понятие выборки. Все множество элементов объёма (мощности ) будем называть генеральной совокупностью.
Произвольное подмножество составленное из элементов генеральной совокупности назовём выборкой объёма . Возможны два случая выборки.
1. Размещения без повторений (выбор без возвращения). В этом случае каждый элемент генеральной выборки может встречаться не более одного раза в любой выборке.
Первый элемент выборки может быть выбран способами, второй - способами, и т. д., последний способом. Всего упорядоченных множеств объёма из множества объёма можно составить штук. Таким образом, число различных размещений из элементов по , которое обозначается будет равно
.
При
Пример: для множества запишем всевозможные размещения по два элемента: ;
2. Размещения с повторениями (выбор с возвращением).
Размещение с повторениями - это такая выборка, в которой каждый элемент генеральной выборки объёма может встречаться любое число раз в каждой выборке объёма . Всего этих множеств будет . Иногда используется обозначение . Запишем всевозможные размещения с повторениями из множества по два элемента:
, всего 9 элементов, т.е. .
Пример 1: Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами можно это сделать?
способов.
Пример 2: Сколько существует телефонных номеров, состоящих из 6 различных цифр? .
.
Если цифры могут повторяться, то ;