Практическое занятие №1

Тема: Построение и исследование модели случайной величины, распределенной по закону Хи-квадрат

1 Порядок решения задачи.

1.1. Построить модель белого гауссовского шума (БГШ), используя встроенную функцию randn пакета Matlab ( N=1000), определить числовые характеристики : м.о и дисперсию, сравнить с теоретическими.(стандартное нормальное распределение), проверить выполнение правила «трех сигм».

1.2. Получить массив значений с.в., имеющей распределение Хи-квадрат, как сумму квадратов 5-ти нормально распределенных с.в. Определить числовые характеристики : м.о и дисперсию, сравнить с теоретическими. Построить гистограмму распределения

1.3. Получить модель с.в., имеющей распределение Хи-квадрат с использованием пакета Matlab Statistics Random Number Generation, сравнить гистограмму с ранее полученной (п.1.2)

1.5. Получить массив значений ( N=1000) любого детерминированного сигнала, например, гармонического, наложить на него БГШ. Получить с.в., как сумму квадратов 5-ти зашумленных сигналов , построить ее гистограмму, определить числовые характеристики, построить график значений.

2. Содержание отчета:

- гистограммы распределения

-числовые характеристики

- листинги программ.

• выводы.

3. Рекомендации к выполнению.

Использовать фрагменты программ из практического занятия к лекции №9 и модифицировать их.

Практическое занятие №2

Задача 1

Диаметр круга Х измерен приближенно, причем 1≤Х≤2. Рассматривая диаметр как случайную величину Х, равномерно распределенную в интервале [1;2], найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Решение.

Найдем математическое ожидание площади круга, Y= по формуле:

М[φ(x)]= ; т.е.:

а) m_y= = = = = (8-1)= =3,14 0,6=1,8;

б) D_y= = = (0,39-0,35)=0,04 ;

в) σ_s=0,2 .

 

Задача 2

Имеется непрерывная случайная величина Х с плотностью f(x). Случайная величина Y связана с Х зависимостью: Y=min(x,a), где а ….. величина. Найти числовые характеристики: м.о., дисперсию случайной величины Y.

Решение.

m_y=M[Y]= = =

= , где F(x) – функция распределения с.в. Х . 

второй начальный момент:

[Y]=M[Y²]= =

= ;

D[Y]= [Y]- = -

Решение.

m_z=M[Z]=a + =a F(a)+ ;

Задача3

Случайная величина Х равномерно распределена в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Функция в итервале монотонна, потому плотность распределения величины Y находим по формуле

.

Корда величина Х принимает значения в интервале , случайная величина Y изменяется в интервале (-1;1). За пределами этого интервала . Т.к.. , то

. ( )

Для определения плотности распределения с.в. Y воспользуемся выражением для плотности распределения с.в. Х:

и выражением ( ):

Задача 4. Найти плотность распределения с.в.Y –напряжения паралельного соединения двух резисторов, один из которых имеет фиксированное напряжение R, в то время как напряжение другого резистора Х – випадкова величина, равномерно распределенная в интервале , де - постоянное число.

Решение..Прежде всего найдем функциональную зависимость между с.в. Y и Х.поскольку резисторы соединены паралельно , то

.

Отсюда получим . Функція монотонна, потому что

.

Потому будем пользоваться формулой:

, ( )

где с.в. Y принимает значения в интервале .Найдем обратную функцію , а так же ее производную:

и плотность распределения с.в.Х:

.

Используя полученные результаты и выражение ( ), получим искомую плотность распределения с.в Y:

Лекция № 11

Тема. Система случайных величин.

Литература:

1. Математичні основи теорії телекомунікаційних систем . Під ред.Поповського В.В. - Харків, СМИТ, 2011.

2. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1988.-480 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:Высш.шк.,1999.-479 с..

План лекции: