Задача 1
Интегральная функция непрерывной случайной величины Х (времени безотказной работы некоторого устройства) равна . Найти вероятность безотказной работы устройства за время .
Решение
Задача 2..
Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 ампера. Показания округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка превышающая 0,02А.
Решение:
Ошибку округления измерений можно рассматривать как случайную величину Х, которая равномерно распределена между двумя соседними делениями. Плотность вероятности равна:
так
как (b-a)=0,1A
, то для данной с.в. плотность распределения
будет иметь следующий вид:
Ошибка превышающая значение 0,02А будет лежать в интервале (0,02-0,08).
Задача 3
Случайная ошибка измерения дальности импульсным радиодальномером имеет нормальное распределение, причем среднее квадратичное отклонение равно 50 метрам. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отличаться по абсолютной величине от истинного не более, чем на 30 метров, если систематическая ошибка составляет +20 метров.
Решение
Измеренное значение дальности по абсолютной величине не превзойдёт истинное более чем на 30метров, если выполняется неравенство:
Задача 4
Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону:
f(t)=0.01e-0.01t, t 0, где t – время в ч.
Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100ч.
Решение:
Функция
распределения F(t)=P(T
t);
T – время безотказной работы;
F(t)=P(T t) – вероятность отказа за время t.
Вероятность безотказной работы:
R(t)=P(T t)=1 – F(t).
Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы за время, длительностью t.
F(t)=
=1
– e-0.01t;
F(t)=1 – 1/e; R(t)=1 – F(t)=1/e=0,37.
Задача 5
Случайная величина Х равномерно распределена на участке (а, b). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего м.о., более чем на 3σ.
Решение:
mx=
;
Dx=
;
σx=
;
3σx=
;
При
равномерном распределении на участке
(а, b) крайние точки а и b, ограничивающие
участок возможных значений с.в., отстоят
от её м.о., равного
, на расстояние
,
которое меньше, чем
,
отсюда: Р{(x - mx)
3σx}=0.
Задача 6
Случайная величина Х распределена нормально с mx=10; вероятность попадания значений с.в Х .в интервал (10 - 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания в интервал (0 - 10)?
Практическое занятие №2
Тема: Построение модели нормальной случайной величины с заданными параметрами и определение ее числовых характеристик
1 Порядок решения задачи.
1.1 Используя встроенную функцию rand пакета Matlab, получить массив значериний (N=1000) равномерно распределенной с.в, определить числовые характестики : м.о и дисперсию, сравнить с теоретическими..
1.2 Построить график распределения в виде столбиковой диаграммы (гистограмму распределения) , сравнить с теоретическим (равномерное распределение в интервале [0,1]).
1.3. Используя встроенную функцию randn пакета Matlab, получить массив значений нормально распределенной с.в( N=1000), определить числовые характеристики : м.о и дисперсию, сравнить с теоретическими.(стандартное нормальное распределение).
1.4 Построить график распределения в виде столбиковой диаграммы (гистограмму распределения) , по диаграмме определить характерные точки и проверить выполнение правила «трех сигм».
1.5. Получить массив значений стандартной нормально распределенной с.в( N=1000), как сумму (5-10) с.в., распределенных равномерно, определить числовые характеристики : м.о и дисперсию, сравнить с теоретическими. Построить гистограмму распределения..
1.6. Сравнить результаты п.1.3-1.5
1.7 Получить массив значений нормально распределенной с.в( N=1000) с заданными параметрами одним из методов на основе анализа п.1.6, определить числовые характеристики : м.о и дисперсию, сравнить с теоретическими. Построить гистограмму распределения. Использовать варианты заданий из таблицы
1.8 Получить массив значений нормально распределенной с.в( N=1000) с заданными параметрами с помощью функции normrnd и определить числовые характеристики : м.о и с.к.о., сравнить с теоретическими. Построить гистограмму распределения. Использовать варианты заданий из таблицы и фрагменты программ, приведенные ниже.
№.п |
м.о |
с.к.о |
1 |
2 |
2 |
2 |
2.5 |
1 |
3 |
3 |
1 |
4 |
4 |
2 |
5 |
5 |
1 |
6 |
1.5 |
3 |
7 |
3 |
2 |
8 |
5 |
2 |
9 |
1 |
1 |
10 |
2 |
1 |
11 |
3 |
3 |
12 |
0 |
1 |
13 |
4 |
2 |
14 |
3 |
1 |
15 |
2 |
1 |
16 |
1 |
1 |
17 |
0 |
1 |
18 |
2 |
1 |
19 |
3 |
1 |
20 |
5 |
1 |