1.Математическое ожидание , мода и медиана случайной величины

2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

3. Моменты высших порядков

1. Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины

На практике знание закона распределения случайной величины, как правило, является избыточным. Чаще всего в инженерной практике возникает необходимость в знании числовых характеристик случайной величины. Среди числовых характеристик случайной величины прежде всего рассмотрим характеристики положения, фиксирующие положение случайной величины на числовой оси, к которым относятся математическое ожидание, мода и медиана.

Рассмотрим дискретную случайную величину. Пусть дискретная случайная величина X принимает значения и вероятность принятия случайной величиной значения равна . Интуитивно ясно, что при наблюдении случайной величины X в n (n>>1) повторных независимых экспериментах значение появится примерно раз. Таким образом, среднее значение этой величины , подсчитанное по n экспериментам , есть примерно

.

Поэтому математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины X называется число

.

Если и ряд сходится абсолютно, математическим ожиданием является величина

.

Можно дать механическую интерпретацию математического ожидания. Если в точки прямой линии с абсциссами положены соответственно массы , то с учетом , что , есть абсцисса центра тяжести этой системы материальных точек. С позиции математики математическое ожидании является линейным функционалом, т.е. линейной операцией, ставящей в соответствие функции X() число M(X).

Сформулируем основные свойства математического ожидания.

1. если , то .

2. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

Действительно, .

4. Математическое ожидание от суммы случайных величин X и Y равно сумме математический ожиданий:

Свойства 2), 3) определяют линейность операции математического ожидания.

5. Если , то

6. 

Свойства 5), 6) очевидны.

7. Если случайные величины X и Y независимы, то

Пример. Изделия испытываются на надежность. Вероятность выхода из строя изделия за время испытания для каждого изделия равна р. Испытания заканчиваются, если изделие вышло из строя. Найти математическое ожидание числа испытаний.

Решение. Пусть Х – число испытаний. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

X	1	2	3	…	k	…
p	p	qp		…		…

где q+p=1. По определению

С помощью введенной плотности распределения вероятностей легко получить математическое ожидание для непрерывной случайной величины. Действительно, разбив интервал изменения случайной величины на маленькие интервалы и, так как приближенно равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение , то можно для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание записать в виде

.

Правая часть этого выражения представляет интегральную сумму, поэтому, переходя к пределу , получаем

.

Математическое ожидание – не единственная характеристика положения;

иногда применяются и другие: мода и медиана с.в.

Определение. Модой с.в. называется наиболее вероятное значение с.в., т.е. для которого вероятность или плотность распределения достигает максимума.

Моду обычно обозначают . Экспериментальные аналоги моды: для дискретной с.в.Х – то значение, которое в данной серии опытов встречается чаще всего; для непрерывной с.в. – центр того элементарного интервала, для которого плотность частоты (отношение частоты попадания в этот интервал к его длине) достигает максимума.

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, то такое распределение называют полимодальным. Наличие более чем одной моды часто указывает на разнородность исследуемого статистического материала.

Еще одной характеристикой положения – является медиана,. Которую обычнообозначают .Эта характеристика применяется, как правило, для непрерывных случайных величин. Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое её значение , для которого .

Геометрически медиана – это абсцисса той точки на оси , для которой площади лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 1/2.

В случае симметричного распределения, имеющего моду, математическое ожидание (если оно существует), мода и медиана совпадают.